Номер 1.17, страница 12 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.17. Даны точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Известно, что точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой и точки $B$, $C$, $D$ также лежат на одной прямой. Докажите, что все четыре точки лежат на одной прямой.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся одной из фундаментальных аксиом евклидовой геометрии: через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.

По условию задачи, точки A, B и C лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую как $l_1$.

Также по условию, точки B, C и D лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую как $l_2$.

Рассмотрим точки B и C. Эти точки являются общими для обеих прямых, $l_1$ и $l_2$.

Предположим, что точки B и C различны ($B \neq C$). Этот случай является основным, так как для однозначного задания прямой необходимо две различные точки.

Согласно аксиоме, через две различные точки B и C проходит единственная прямая. Поскольку и прямая $l_1$ (содержащая A, B, C), и прямая $l_2$ (содержащая B, C, D) проходят через эти две общие точки, они должны совпадать.

Таким образом, $l_1 = l_2$. Обозначим эту единственную прямую как $l$.

Так как точка A лежит на прямой $l_1$, она лежит и на прямой $l$.

Так как точка D лежит на прямой $l_2$, она лежит и на прямой $l$.

Точки B и C по определению также лежат на прямой $l$.

Следовательно, все четыре точки A, B, C и D лежат на одной и той же прямой $l$, что и требовалось доказать.

(Примечание: если бы точки B и C совпадали, утверждение было бы не всегда верным, так как через одну точку проходит бесконечное число прямых. Однако условие задачи подразумевает наиболее общий случай, где B и C различны).

Ответ: Доказательство основано на аксиоме, что через две различные точки проходит единственная прямая. Пусть прямая, на которой лежат точки A, B, C, называется $l_1$, а прямая, на которой лежат B, C, D, — $l_2$. Точки B и C являются общими для прямых $l_1$ и $l_2$. Поскольку через две различные точки (B и C) может проходить только одна прямая, то прямые $l_1$ и $l_2$ должны совпадать. Следовательно, все четыре точки A, B, C, D лежат на одной и той же прямой.