Номер 1.19, страница 12 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.19. На прямой отмечены точки $O$, $A$ и $B$ так, что $OA = 12$ см, $OB = 9$ см. Найдите расстояние между серединами отрезков $OA$ и $OB$, если точка $O$:

1) лежит на отрезке $AB$;

2) не лежит на отрезке $AB$ (рис. 1.13).

Рис. 1.13

Обозначим середину отрезка OA точкой M, а середину отрезка OB — точкой N. Требуется найти длину отрезка MN.

Расстояние от начала отрезка (точки O) до его середины равно половине длины всего отрезка.

Найдем расстояние от точки O до середин отрезков OA и OB:

Расстояние до середины M отрезка OA: $OM = \frac{OA}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см}$.

Расстояние до середины N отрезка OB: $ON = \frac{OB}{2} = \frac{9 \text{ см}}{2} = 4,5 \text{ см}$.

1) точка O лежит на отрезке AB

В этом случае точки A и B расположены по разные стороны от точки O, то есть отрезки OA и OB направлены в противоположные стороны. Порядок точек на прямой: A–O–B.

Середина M отрезка OA и середина N отрезка OB также будут находиться по разные стороны от точки O. Следовательно, расстояние между точками M и N равно сумме их расстояний от точки O:

$MN = OM + ON = 6 \text{ см} + 4,5 \text{ см} = 10,5 \text{ см}$.

Ответ: 10,5 см.

2) точка O не лежит на отрезке AB

В этом случае точки A и B расположены по одну сторону от точки O, а отрезки OA и OB лежат на одном луче с началом в точке O.

Поскольку $OA = 12$ см, а $OB = 9$ см, то $OA > OB$. Это означает, что точка B лежит между точками O и A. Порядок точек на прямой: O–B–A.

Так как середины M и N лежат на одном луче, исходящем из точки O, расстояние между ними равно модулю разности их расстояний от точки O:

$MN = |OM - ON| = |6 \text{ см} - 4,5 \text{ см}| = 1,5 \text{ см}$.

Ответ: 1,5 см.