Номер 1.15, страница 11 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.15. 1) Точки А и В расположены по разные стороны от прямой $a$, $C \in a$, $AB = 37$ дм, $AC = 12$ дм, $BC = 26$ дм. Является ли точка C точкой пересечения $AB$ и $a$?

2) Точки C и D расположены на отрезке $AB$ так, что $AC = DB$, точка C лежит между точками A и D. Найдите расстояние между серединами отрезков $AB$ и $DB$, если $AB = 58$ см, $CD = 2,8$ дм (рис. 1.12).

Рис. 1.12

1)

Для того чтобы точка $C$ являлась точкой пересечения отрезка $AB$ и прямой $a$, необходимо, чтобы точки $A$, $C$ и $B$ лежали на одной прямой. Если точки $A$ и $B$ расположены по разные стороны от прямой $a$, на которой лежит точка $C$, то для коллинеарности этих трех точек $C$ должна находиться между $A$ и $B$.

Согласно аксиоме сложения отрезков, если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то должно выполняться равенство: $AC + CB = AB$.

Проверим это равенство, используя данные из условия задачи:

$AC = 12$ дм

$BC = 26$ дм

$AB = 37$ дм

Найдем сумму длин отрезков $AC$ и $BC$: $AC + BC = 12 + 26 = 38$ дм.

Сравним полученную сумму с длиной отрезка $AB$: $38 \text{ дм} \neq 37 \text{ дм}$.

Поскольку равенство $AC + CB = AB$ не выполняется, точки $A$, $C$ и $B$ не лежат на одной прямой. Следовательно, точка $C$ не является точкой пересечения отрезка $AB$ и прямой $a$.

Ответ: нет, не является.

2)

По условию, точки $C$ и $D$ расположены на отрезке $AB$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$. Следовательно, точки на прямой расположены в следующем порядке: A, C, D, B.

Дано: $AB = 58$ см, $CD = 2.8$ дм, $AC = DB$.

Сначала приведем все величины к единой единице измерения, сантиметрам: $CD = 2.8 \text{ дм} = 2.8 \times 10 \text{ см} = 28$ см.

Длина всего отрезка $AB$ равна сумме длин его составляющих частей: $AB = AC + CD + DB$.

Используя условие $AC = DB$, заменим $AC$ в формуле: $AB = DB + CD + DB = 2 \cdot DB + CD$.

Теперь подставим известные значения и найдем длину отрезка $DB$: $58 = 2 \cdot DB + 28$

$2 \cdot DB = 58 - 28$

$2 \cdot DB = 30$

$DB = \frac{30}{2} = 15$ см.

Требуется найти расстояние между серединами отрезков $AB$ и $DB$. Обозначим середину отрезка $AB$ точкой $M$, а середину отрезка $DB$ — точкой $N$. Искомое расстояние — это длина отрезка $MN$.

Точка $M$ является серединой отрезка $AB$, поэтому расстояние от конца отрезка, точки $B$, до точки $M$ равно: $MB = \frac{AB}{2} = \frac{58}{2} = 29$ см.

Точка $N$ является серединой отрезка $DB$, поэтому расстояние от конца отрезка, точки $B$, до точки $N$ равно: $NB = \frac{DB}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.

Точки $M$ и $N$ лежат на прямой $AB$. Так как $B$ — общий конец отрезков $MB$ и $NB$, и $MB > NB$, то точка $N$ лежит между точками $M$ и $B$. Расстояние между точками $M$ и $N$ можно найти как разность их расстояний от точки $B$: $MN = MB - NB$.

Вычислим $MN$: $MN = 29 - 7.5 = 21.5$ см.

Ответ: 21,5 см.