Номер 1.9, страница 11 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.9. Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?

Чтобы найти общее количество точек пересечения, необходимо определить, сколько уникальных пар прямых можно составить из четырех данных прямых. Согласно условию задачи, каждая пара прямых пересекается, и каждая точка пересечения уникальна, так как через нее проходят только две прямые. Это означает, что нет параллельных прямых и нет трех или более прямых, пересекающихся в одной точке.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов (прямых) по 2 (поскольку для образования одной точки пересечения нужны ровно две прямые).

Формула для расчета числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит следующим образом: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ и $k=2$. Подставим эти значения в формулу: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Также можно решить задачу пошагово:

1. Проведем первую прямую.

2. Вторая прямая пересекает первую в 1 точке.

3. Третья прямая пересекает первые две, добавляя 2 новые точки пересечения. Всего: $1 + 2 = 3$ точки.

4. Четвертая прямая пересекает три уже существующие прямые, добавляя 3 новые точки пересечения. Всего: $3 + 3 = 6$ точек.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6