Номер 1.8, страница 11 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.8. Отметьте на плоскости четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую. Сколько прямых получилось?

Для решения этой задачи нужно определить, сколько уникальных пар точек можно составить из четырех данных точек. Согласно условию, никакие три точки не лежат на одной прямой, а это значит, что каждая пара точек однозначно определяет одну прямую.

Способ 1: Перебор

Обозначим точки буквами A, B, C и D. Теперь systematically перечислим все возможные прямые, соединяя точки попарно:

1. Прямая, соединяющая точки A и B (AB).

2. Прямая, соединяющая точки A и C (AC).

3. Прямая, соединяющая точки A и D (AD).

4. Прямая, соединяющая точки B и C (BC).

5. Прямая, соединяющая точки B и D (BD).

6. Прямая, соединяющая точки C и D (CD).

Других комбинаций пар точек нет. Таким образом, у нас получилось 6 прямых.

Способ 2: Комбинаторика

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2, так как для построения прямой нам нужно выбрать 2 точки из 4 имеющихся, и порядок выбора не важен (прямая AB и прямая BA — это одна и та же прямая).

Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (общее число точек), а $k=2$ (число точек для одной прямой).

Подставляем значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 6