Страница 11 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.5. Точка $X$ лежит на прямой $AB$ между точками $A$ и $B$. Найдите длину отрезка $AB$, если $AX = 2,5$ см, $XB = 3,4$ см (рис. 1.11).

Рис. 1.11

Согласно условию задачи, точка X лежит на прямой AB между точками A и B. Это означает, что отрезок AB состоит из двух частей: отрезка AX и отрезка XB. Чтобы найти длину всего отрезка AB, нужно сложить длины его частей.

Это можно выразить следующей формулой, основанной на аксиоме измерения отрезков:

$AB = AX + XB$

Нам известны длины отрезков AX и XB:

$AX = 2,5$ см

$XB = 3,4$ см

Подставим эти значения в формулу и выполним сложение:

$AB = 2,5 \text{ см} + 3,4 \text{ см} = 5,9 \text{ см}$

Следовательно, длина отрезка AB равна 5,9 см.

Ответ: 5,9 см.

1.6. Точка $M$ лежит между точками $K$ и $P$. Найдите расстояние между $M$ и $P$, если $KP = 0,9$ дм, $KM = 0,3$ дм.

По условию задачи, точка M лежит между точками K и P. Это означает, что все три точки (K, M, P) находятся на одной прямой, причём отрезок KP состоит из двух отрезков: KM и MP. Следовательно, длина всего отрезка KP равна сумме длин отрезков KM и MP.

Это свойство можно записать в виде формулы (аксиома измерения отрезков):

$KP = KM + MP$

Нам известны следующие величины:

Длина отрезка $KP = 0,9$ дм.

Длина отрезка $KM = 0,3$ дм.

Чтобы найти искомое расстояние между точками M и P (то есть длину отрезка MP), необходимо выразить MP из основной формулы:

$MP = KP - KM$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу и выполним вычисление:

$MP = 0,9 \text{ дм} - 0,3 \text{ дм} = 0,6 \text{ дм}$

Таким образом, расстояние между точками M и P составляет 0,6 дм.

Ответ: $0,6$ дм.

1.7. Лежат ли точки $A$, $B$, $C$ на одной прямой, если:

1) $AB = 2,5$ см, $BC = 3,8$ см, $AC = 1,3$ см;

2) $AB = 1,9$ дм, $BC = 2,9$ дм, $AC = 4,8$ дм?

1)

Для того чтобы три точки $A$, $B$ и $C$ лежали на одной прямой, необходимо, чтобы длина самого большого отрезка, соединяющего эти точки, была равна сумме длин двух других отрезков (это следует из неравенства треугольника).

Даны длины отрезков: $AB = 2,5$ см, $BC = 3,8$ см, $AC = 1,3$ см.

Наибольший из этих отрезков — $BC$, его длина $3,8$ см.

Проверим, равна ли длина отрезка $BC$ сумме длин отрезков $AB$ и $AC$.

$AB + AC = 2,5 \text{ см} + 1,3 \text{ см} = 3,8$ см.

Так как $3,8 \text{ см} = 3,8 \text{ см}$, то равенство $AB + AC = BC$ выполняется. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ расположена между точками $B$ и $C$.

Ответ: да, лежат.

2)

Применим тот же принцип для второго набора длин: $AB = 1,9$ дм, $BC = 2,9$ дм, $AC = 4,8$ дм.

Наибольший из этих отрезков — $AC$, его длина $4,8$ дм.

Проверим, равна ли длина отрезка $AC$ сумме длин отрезков $AB$ и $BC$.

$AB + BC = 1,9 \text{ дм} + 2,9 \text{ дм} = 4,8$ дм.

Так как $4,8 \text{ дм} = 4,8 \text{ дм}$, то равенство $AB + BC = AC$ выполняется. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, причем точка $B$ расположена между точками $A$ и $C$.

Ответ: да, лежат.

1.8. Отметьте на плоскости четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую. Сколько прямых получилось?

Для решения этой задачи нужно определить, сколько уникальных пар точек можно составить из четырех данных точек. Согласно условию, никакие три точки не лежат на одной прямой, а это значит, что каждая пара точек однозначно определяет одну прямую.

Способ 1: Перебор

Обозначим точки буквами A, B, C и D. Теперь systematically перечислим все возможные прямые, соединяя точки попарно:

1. Прямая, соединяющая точки A и B (AB).

2. Прямая, соединяющая точки A и C (AC).

3. Прямая, соединяющая точки A и D (AD).

4. Прямая, соединяющая точки B и C (BC).

5. Прямая, соединяющая точки B и D (BD).

6. Прямая, соединяющая точки C и D (CD).

Других комбинаций пар точек нет. Таким образом, у нас получилось 6 прямых.

Способ 2: Комбинаторика

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2, так как для построения прямой нам нужно выбрать 2 точки из 4 имеющихся, и порядок выбора не важен (прямая AB и прямая BA — это одна и та же прямая).

Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (общее число точек), а $k=2$ (число точек для одной прямой).

Подставляем значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 6

1.9. Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?

Чтобы найти общее количество точек пересечения, необходимо определить, сколько уникальных пар прямых можно составить из четырех данных прямых. Согласно условию задачи, каждая пара прямых пересекается, и каждая точка пересечения уникальна, так как через нее проходят только две прямые. Это означает, что нет параллельных прямых и нет трех или более прямых, пересекающихся в одной точке.

Таким образом, задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов (прямых) по 2 (поскольку для образования одной точки пересечения нужны ровно две прямые).

Формула для расчета числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит следующим образом: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ и $k=2$. Подставим эти значения в формулу: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Также можно решить задачу пошагово:

1. Проведем первую прямую.

2. Вторая прямая пересекает первую в 1 точке.

3. Третья прямая пересекает первые две, добавляя 2 новые точки пересечения. Всего: $1 + 2 = 3$ точки.

4. Четвертая прямая пересекает три уже существующие прямые, добавляя 3 новые точки пересечения. Всего: $3 + 3 = 6$ точек.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6

1.10. Точки $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой. Может ли точка $Q$ находиться между точками $P$ и $R$, если $PR = 7$ см, $QR = 7,6$ см? Объясните ответ.

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся аксиомой о расположении точек на прямой. Если точка $Q$ находится между точками $P$ и $R$, то все три точки лежат на одном отрезке $PR$, и длина всего отрезка $PR$ равна сумме длин его частей, $PQ$ и $QR$. Это можно записать в виде формулы:

$PR = PQ + QR$

Из этого основного свойства следует, что длина любой части отрезка (в данном случае $PQ$ или $QR$) не может быть больше длины всего отрезка ($PR$). То есть, если точка $Q$ лежит между $P$ и $R$, то обязательно должно выполняться неравенство:

$QR < PR$

Теперь проверим, выполняется ли это условие для данных из задачи. Нам дано:

Длина отрезка $PR = 7$ см.

Длина отрезка $QR = 7,6$ см.

Сравним эти два значения: $7,6$ см больше, чем $7$ см. Таким образом, мы получаем:

$QR > PR$

Это прямо противоречит необходимому условию $QR < PR$. Следовательно, предположение о том, что точка $Q$ может находиться между точками $P$ и $R$, является неверным.

Ответ: Нет, точка $Q$ не может находиться между точками $P$ и $R$. Это объясняется тем, что если точка $Q$ лежит на отрезке $PR$, то расстояние $QR$ должно быть частью расстояния $PR$ и, следовательно, быть меньше него ($QR < PR$). Однако, согласно условию, $QR = 7,6$ см, а $PR = 7$ см, что означает $QR > PR$. Это является геометрическим противоречием.

1.11. Могут ли точки A, B, C лежать на одной прямой, если $AB = 1,8 \text{ м}$, $AC = 1,3 \text{ м}$, $BC = 3 \text{ м}$? Объясните ответ.

Для того чтобы три точки A, B и C лежали на одной прямой, необходимо, чтобы длина самого большого из отрезков, образованных этими точками, была равна сумме длин двух других отрезков. Это является аксиомой принадлежности точек на прямой. Рассмотрим все возможные варианты расположения точек.

Нам даны длины отрезков: $AB = 1,8$ м, $AC = 1,3$ м, $BC = 3$ м.

Случай 1: Точка C лежит между точками A и B.

В этом случае должно выполняться равенство $AC + CB = AB$.

Подставим значения: $1,3 \text{ м} + 3 \text{ м} = 1,8 \text{ м}$.

Получаем $4,3 \text{ м} = 1,8 \text{ м}$. Данное равенство неверно.

Случай 2: Точка B лежит между точками A и C.

В этом случае должно выполняться равенство $AB + BC = AC$.

Подставим значения: $1,8 \text{ м} + 3 \text{ м} = 1,3 \text{ м}$.

Получаем $4,8 \text{ м} = 1,3 \text{ м}$. Данное равенство неверно.

Случай 3: Точка A лежит между точками B и C.

В этом случае должно выполняться равенство $BA + AC = BC$. Длина отрезка $BA$ равна длине отрезка $AB$.

Подставим значения: $1,8 \text{ м} + 1,3 \text{ м} = 3 \text{ м}$.

Получаем $3,1 \text{ м} = 3 \text{ м}$. Данное равенство неверно.

Поскольку ни одно из трех возможных условий расположения точек на одной прямой не выполняется, точки A, B и C не могут лежать на одной прямой. Более того, эти отрезки удовлетворяют неравенству треугольника ($1,3 + 1,8 > 3$, т.е. $3,1 > 3$), что означает, что они образуют треугольник.

Ответ: Нет, точки A, B, C не могут лежать на одной прямой.

1.12. Точка $C$ – середина отрезка $AB$, точка $O$ – середина отрезка $AC$.

1) Найдите $AC$, $CB$, $AO$ и $OB$, если $AB = 2$ см.

2) Найдите $AB$, $AC$, $AO$ и $OB$, если $CB = 3,2$ м.

1) По условию задачи, точка C является серединой отрезка AB. Это означает, что она делит отрезок AB на два равных отрезка: AC и CB.

Следовательно, длина каждого из этих отрезков равна половине длины отрезка AB.

Дано, что $AB = 2$ см.

Найдем длины AC и CB:

$AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$.

Далее, по условию, точка O является серединой отрезка AC. Это означает, что она делит отрезок AC на два равных отрезка: AO и OC.

Следовательно, длина каждого из этих отрезков равна половине длины отрезка AC.

Мы уже нашли, что $AC = 1$ см.

Найдем длину AO:

$AO = \frac{AC}{2} = \frac{1 \text{ см}}{2} = 0.5 \text{ см}$.

Для нахождения длины отрезка OB, мы можем сложить длины отрезков OC и CB. Так как O — середина AC, то $OC = AO = 0.5$ см.

$OB = OC + CB$

Подставим известные значения:

$OB = 0.5 \text{ см} + 1 \text{ см} = 1.5 \text{ см}$.

Также можно найти OB, вычтя из длины всего отрезка AB длину отрезка AO:

$OB = AB - AO = 2 \text{ см} - 0.5 \text{ см} = 1.5 \text{ см}$.

Ответ: $AC = 1$ см, $CB = 1$ см, $AO = 0.5$ см, $OB = 1.5$ см.

2) По условию задачи, точка C — середина отрезка AB. Это означает, что $AC = CB$.

Дано, что $CB = 3.2$ м.

Следовательно, $AC = 3.2$ м.

Длина отрезка AB равна сумме длин его частей, AC и CB.

$AB = AC + CB$

Подставим известные значения:

$AB = 3.2 \text{ м} + 3.2 \text{ м} = 6.4 \text{ м}$.

Далее, точка O — середина отрезка AC. Это означает, что она делит отрезок AC на два равных отрезка AO и OC.

$AO = OC = \frac{AC}{2}$

Подставим известное значение AC:

$AO = \frac{3.2 \text{ м}}{2} = 1.6 \text{ м}$.

Чтобы найти длину отрезка OB, сложим длины отрезков OC и CB. Мы знаем, что $OC = AO = 1.6$ м.

$OB = OC + CB$

Подставим известные значения:

$OB = 1.6 \text{ м} + 3.2 \text{ м} = 4.8 \text{ м}$.

Ответ: $AB = 6.4$ м, $AC = 3.2$ м, $AO = 1.6$ м, $OB = 4.8$ м.

1.13. 1) На прямой а расположены точки А, В и С, причем $AB = 5$ см, $BC = 7$ см. Какой может быть длина отрезка $AC$?

2) Точка С – середина отрезка AB, равного 7 м 58 см. Найдите длину отрезка AC в дециметрах.

1)

Поскольку точки A, B и C расположены на одной прямой, существует два возможных варианта их взаимного расположения, которые определяют длину отрезка AC. Рассмотрим эти случаи.

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C.

В этом случае порядок точек на прямой: A, B, C. Длина отрезка AC будет равна сумме длин отрезков AB и BC.

$AC = AB + BC$

Подставляем известные значения:

$AC = 5 \text{ см} + 7 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Случай 2: Точка A лежит между точками C и B.

В этом случае порядок точек на прямой: C, A, B. Длина всего отрезка CB (которая равна BC) складывается из длин отрезков CA и AB. Чтобы найти длину AC (которая равна CA), нужно из длины отрезка BC вычесть длину отрезка AB.

$BC = AC + AB$

$AC = BC - AB$

Подставляем известные значения:

$AC = 7 \text{ см} - 5 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Третий возможный вариант, когда точка C лежит между A и B, невозможен, так как в этом случае отрезок AB был бы равен сумме отрезков AC и CB ($AB = AC + CB$). Подстановка известных значений привела бы к уравнению $5 = AC + 7$, что дает отрицательную длину для отрезка AC, а длина не может быть отрицательной.

Таким образом, длина отрезка AC может принимать два значения.

Ответ: 12 см или 2 см.

2)

По условию, точка C является серединой отрезка AB. Это означает, что точка C делит отрезок AB на две равные части: AC и CB. Следовательно, длина отрезка AC равна половине длины отрезка AB.

$AC = \frac{AB}{2}$

Длина отрезка AB составляет 7 м 58 см. Для выполнения расчетов переведем эту длину в одну единицу измерения, например, в сантиметры. Учитывая, что в 1 метре 100 сантиметров, получаем:

$AB = 7 \text{ м} \ 58 \text{ см} = 7 \times 100 \text{ см} + 58 \text{ см} = 700 \text{ см} + 58 \text{ см} = 758 \text{ см}$

Теперь мы можем найти длину отрезка AC в сантиметрах:

$AC = \frac{758 \text{ см}}{2} = 379 \text{ см}$

В задаче требуется указать ответ в дециметрах. Переведем полученное значение из сантиметров в дециметры, зная, что 1 дециметр (дм) равен 10 сантиметрам (см).

$AC = \frac{379 \text{ см}}{10} = 37,9 \text{ дм}$

Ответ: 37,9 дм.

1.14. 1) На прямой $m$ расположены точки $M$, $N$ и $K$, причем $MN = 8 \text{ см}$, $NK = 12 \text{ см}$. Какой может быть длина отрезка $MK$?

2) Точка $F$ – середина отрезка $EL$, $EF = 3 \text{ дм } 12 \text{ см}$. Найдите длину отрезка $EL$ в метрах.

1)

Поскольку точки $M$, $N$ и $K$ расположены на одной прямой, существует несколько возможных вариантов их взаимного расположения. Рассмотрим их, чтобы определить возможные значения длины отрезка $MK$.

Случай 1: Точка $N$ лежит между точками $M$ и $K$.

В этом случае длина отрезка $MK$ является суммой длин отрезков $MN$ и $NK$.

$MK = MN + NK$

$MK = 8 \text{ см} + 12 \text{ см} = 20 \text{ см}$

Случай 2: Точка $M$ лежит между точками $K$ и $N$.

В этом случае отрезок $KN$ состоит из отрезков $KM$ и $MN$.

$KN = KM + MN$

Подставим известные значения:

$12 \text{ см} = KM + 8 \text{ см}$

Отсюда находим длину $KM$ (которая равна $MK$):

$KM = 12 \text{ см} - 8 \text{ см} = 4 \text{ см}$

Случай 3: Точка $K$ лежит между точками $M$ и $N$.

В этом случае отрезок $MN$ состоит из отрезков $MK$ и $KN$.

$MN = MK + KN$

Подставим известные значения:

$8 \text{ см} = MK + 12 \text{ см}$

При попытке решить это уравнение, мы получаем $MK = 8 - 12 = -4$ см. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, такое расположение точек невозможно.

Таким образом, длина отрезка $MK$ может быть либо 20 см, либо 4 см.

Ответ: 20 см или 4 см.

2)

По условию задачи, точка $F$ является серединой отрезка $EL$. Это означает, что она делит отрезок $EL$ на две равные части, то есть $EF = FL$. Следовательно, длина всего отрезка $EL$ в два раза больше длины его половины $EF$.

$EL = 2 \times EF$

Нам известна длина отрезка $EF = 3 \text{ дм } 12 \text{ см}$. Для удобства вычислений переведем эту длину в одну единицу измерения — сантиметры. Мы знаем, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

$EF = 3 \text{ дм} + 12 \text{ см} = (3 \times 10) \text{ см} + 12 \text{ см} = 30 \text{ см} + 12 \text{ см} = 42 \text{ см}$.

Теперь мы можем найти длину отрезка $EL$ в сантиметрах:

$EL = 2 \times 42 \text{ см} = 84 \text{ см}$.

В задаче требуется указать ответ в метрах. Переведем полученное значение, зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

$EL = 84 \text{ см} = \frac{84}{100} \text{ м} = 0,84 \text{ м}$.

Ответ: 0,84 м.

1.15. 1) Точки А и В расположены по разные стороны от прямой $a$, $C \in a$, $AB = 37$ дм, $AC = 12$ дм, $BC = 26$ дм. Является ли точка C точкой пересечения $AB$ и $a$?

2) Точки C и D расположены на отрезке $AB$ так, что $AC = DB$, точка C лежит между точками A и D. Найдите расстояние между серединами отрезков $AB$ и $DB$, если $AB = 58$ см, $CD = 2,8$ дм (рис. 1.12).

Рис. 1.12

1)

Для того чтобы точка $C$ являлась точкой пересечения отрезка $AB$ и прямой $a$, необходимо, чтобы точки $A$, $C$ и $B$ лежали на одной прямой. Если точки $A$ и $B$ расположены по разные стороны от прямой $a$, на которой лежит точка $C$, то для коллинеарности этих трех точек $C$ должна находиться между $A$ и $B$.

Согласно аксиоме сложения отрезков, если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то должно выполняться равенство: $AC + CB = AB$.

Проверим это равенство, используя данные из условия задачи:

$AC = 12$ дм

$BC = 26$ дм

$AB = 37$ дм

Найдем сумму длин отрезков $AC$ и $BC$: $AC + BC = 12 + 26 = 38$ дм.

Сравним полученную сумму с длиной отрезка $AB$: $38 \text{ дм} \neq 37 \text{ дм}$.

Поскольку равенство $AC + CB = AB$ не выполняется, точки $A$, $C$ и $B$ не лежат на одной прямой. Следовательно, точка $C$ не является точкой пересечения отрезка $AB$ и прямой $a$.

Ответ: нет, не является.

2)

По условию, точки $C$ и $D$ расположены на отрезке $AB$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $D$. Следовательно, точки на прямой расположены в следующем порядке: A, C, D, B.

Дано: $AB = 58$ см, $CD = 2.8$ дм, $AC = DB$.

Сначала приведем все величины к единой единице измерения, сантиметрам: $CD = 2.8 \text{ дм} = 2.8 \times 10 \text{ см} = 28$ см.

Длина всего отрезка $AB$ равна сумме длин его составляющих частей: $AB = AC + CD + DB$.

Используя условие $AC = DB$, заменим $AC$ в формуле: $AB = DB + CD + DB = 2 \cdot DB + CD$.

Теперь подставим известные значения и найдем длину отрезка $DB$: $58 = 2 \cdot DB + 28$

$2 \cdot DB = 58 - 28$

$2 \cdot DB = 30$

$DB = \frac{30}{2} = 15$ см.

Требуется найти расстояние между серединами отрезков $AB$ и $DB$. Обозначим середину отрезка $AB$ точкой $M$, а середину отрезка $DB$ — точкой $N$. Искомое расстояние — это длина отрезка $MN$.

Точка $M$ является серединой отрезка $AB$, поэтому расстояние от конца отрезка, точки $B$, до точки $M$ равно: $MB = \frac{AB}{2} = \frac{58}{2} = 29$ см.

Точка $N$ является серединой отрезка $DB$, поэтому расстояние от конца отрезка, точки $B$, до точки $N$ равно: $NB = \frac{DB}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.

Точки $M$ и $N$ лежат на прямой $AB$. Так как $B$ — общий конец отрезков $MB$ и $NB$, и $MB > NB$, то точка $N$ лежит между точками $M$ и $B$. Расстояние между точками $M$ и $N$ можно найти как разность их расстояний от точки $B$: $MN = MB - NB$.

Вычислим $MN$: $MN = 29 - 7.5 = 21.5$ см.

Ответ: 21,5 см.