Страница 10 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПЗ 1. Даны прямая $a$ и точки $A$ и $B$ такие, что $A \in a$ и $B \notin a$. Изобразите это на рисунке.

2. Дана прямая $a$. Отметьте точки $A$, $B$ и $C$ так, чтобы прямые $AB$ и $a$ пересекались в точке $C$, лежащей между точками $A$ и $B$.

3. По рис. 1.10 укажите: 1) все пары пересекающихся прямых и их точки пересечения; 2) все пары пересекающихся прямых и их общие точки.

Рис. 1.10

4. Проведите прямую $a$ и отметьте на ней точки $A$ и $B$. Отметьте: 1) точки $M$ и $N$, лежащие на отрезке $AB$; 2) точки $P$ и $Q$, лежащие на прямой $a$, но не лежащие на отрезке $AB$; 3) точки $R$ и $S$, не лежащие на прямой $a$.

1. Чтобы изобразить заданные условия, нужно выполнить следующие действия. Сначала чертится произвольная прямая линия и обозначается буквой a. Затем на этой прямой отмечается любая точка и обозначается буквой A. Это соответствует математической записи $A \in a$ (точка A принадлежит прямой a). После этого в любом месте на плоскости, но не на прямой a, отмечается точка B. Это соответствует записи $B \notin a$ (точка B не принадлежит прямой a).

Ответ: Построена прямая a, на которой лежит точка A, и точка B, которая не лежит на этой прямой.

2. Для решения задачи нужно начертить прямую a. Затем необходимо отметить точки A и B так, чтобы они находились в разных полуплоскостях относительно прямой a (то есть по разные стороны от нее). Если после этого провести прямую через точки A и B, то она пересечет прямую a. Точка этого пересечения и будет искомой точкой C. По построению точка C окажется расположенной между точками A и B.

Ответ: Точки A и B отмечены в разных полуплоскостях относительно прямой a. Точка C является точкой пересечения прямой AB и прямой a.

3. 1) все пары пересекающихся прямых и их точки пересечения;

На рисунке 1.10 изображены прямые, проходящие через пары точек A, B, C, D. Рассмотрим все возможные пары этих прямых и их точки пересечения:

• Прямая AB и прямая CD пересекаются в точке E.

• Прямая AB и прямая AC пересекаются в точке A.

• Прямая AB и прямая BD пересекаются в точке B.

• Прямая CD и прямая AC пересекаются в точке C.

• Прямая CD и прямая BD пересекаются в точке D.

• Прямая AC и прямая BD также являются пересекающимися (если не предполагать их параллельность, что не следует из рисунка). Точка их пересечения на рисунке не обозначена.

Ответ: (AB, CD) в точке E; (AB, AC) в точке A; (AB, BD) в точке B; (CD, AC) в точке C; (CD, BD) в точке D; (AC, BD) в точке, не обозначенной на рисунке.

2) все пары пересекающихся прямых и их общие точки.

Задание по сути идентично предыдущему пункту, так как общая точка двух пересекающихся прямых и есть их точка пересечения.

• Прямые AB и CD имеют общую точку E.

• Прямые AB и AC имеют общую точку A.

• Прямые AB и BD имеют общую точку B.

• Прямые CD и AC имеют общую точку C.

• Прямые CD и BD имеют общую точку D.

• Прямые AC и BD имеют одну общую точку, которая на рисунке не обозначена.

Ответ: (AB, CD) - общая точка E; (AB, AC) - общая точка A; (AB, BD) - общая точка B; (CD, AC) - общая точка C; (CD, BD) - общая точка D; (AC, BD) - одна общая точка, не обозначенная на рисунке.

4. Проводим прямую a и отмечаем на ней две различные точки A и B. Они образуют отрезок AB — часть прямой, заключенную между этими точками.

1) точки M и N, лежащие на отрезке AB;

Точки M и N необходимо отметить на прямой a в любом месте между точками A и B.

2) точки P и Q, лежащие на прямой a, но не лежащие на отрезке AB;

Точки P и Q необходимо отметить на прямой a, но за пределами отрезка AB. Например, точка P может лежать на прямой левее точки A, а точка Q — правее точки B (если считать, что A расположена левее B).

3) точки R и S, не лежащие на прямой a.

Точки R и S необходимо отметить в любом месте на плоскости, но не на самой прямой a.

Ответ: Построена прямая a с точками A и B. Точки M и N расположены на отрезке AB. Точки P и Q расположены на прямой a, но вне отрезка AB. Точки R и S расположены вне прямой a.

1. Приведите примеры геометрических фигур.

2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.

3. Как обозначаются точки и прямые?

4. Сколько прямых можно провести через две точки?

5. Сколько общих точек могут иметь две прямые?

6. Объясните, что такое отрезок.

7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.

8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?

1. Приведите примеры геометрических фигур.

Геометрическая фигура — это любое множество точек. Фигуры бывают плоскими (расположенными в одной плоскости) и пространственными.

Примеры плоских фигур: точка, прямая, отрезок, луч, угол, треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, круг, многоугольник.

Примеры пространственных фигур: куб, шар, конус, цилиндр, пирамида, призма, сфера.

Ответ: Точка, прямая, отрезок, треугольник, круг, куб, шар.

2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.

Основными, или первоначальными, геометрическими фигурами на плоскости (в планиметрии) считаются те, через которые определяются все остальные. Этими фигурами являются точка и прямая. Их понятия принимаются без определения.

Ответ: Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая.

3. Как обозначаются точки и прямые?

В геометрии приняты следующие стандартные обозначения:

Точки принято обозначать прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Например: точка $A$, точка $B$, точка $C$.

Прямые обозначают одним из двух способов:

• Строчной (маленькой) буквой латинского алфавита. Например: прямая $a$, прямая $b$.
• Двумя прописными латинскими буквами, обозначающими две любые точки, принадлежащие этой прямой. Например: прямая $AB$, прямая $CD$.

Ответ: Точки обозначаются прописными латинскими буквами (например, $A, B$), а прямые — строчными латинскими буквами (например, $a$) или двумя прописными латинскими буквами, соответствующими точкам на прямой (например, $AB$).

4. Сколько прямых можно провести через две точки?

Согласно одной из основных аксиом планиметрии, через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Это означает, что существует единственная прямая, которая проходит через обе эти точки.

Ответ: Через две точки можно провести только одну прямую.

5. Сколько общих точек могут иметь две прямые?

Для двух различных прямых, лежащих в одной плоскости, существуют три варианта взаимного расположения, которые определяют количество их общих точек:

• Одна общая точка: Прямые пересекаются.
• Ни одной общей точки: Прямые параллельны, то есть не пересекаются, как бы далеко их ни продолжали.
• Бесконечно много общих точек: Прямые совпадают, то есть фактически являются одной и той же прямой.

Ответ: Две прямые могут иметь одну общую точку (пересекающиеся), ни одной общей точки (параллельные) или бесконечно много общих точек (совпадающие).

6. Объясните, что такое отрезок.

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок включает в себя оба своих конца, а также все точки прямой, которые лежат между этими концами. Отрезок с концами в точках $A$ и $B$ обозначается как $AB$ или $BA$.

Ответ: Отрезок — это часть прямой, состоящая из двух данных точек (концов отрезка) и всех точек, лежащих между ними.

7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.

Измерение отрезков базируется на нескольких ключевых свойствах (аксиомах):

1. Каждый отрезок имеет определённую длину, которая является положительным числом. Длина отрезка показывает, сколько раз в нём укладывается выбранный эталонный отрезок (единица измерения). Длина нулевого отрезка (концы которого совпадают) равна нулю.
2. Равные отрезки имеют равные длины. Обратно, отрезки, имеющие равные длины, равны.
3. Если точка $C$ является внутренней точкой отрезка $AB$, то длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CB$. Это свойство аддитивности длины: $AB = AC + CB$.

Ответ: Основные свойства измерения отрезков: 1) каждый отрезок имеет определённую положительную длину; 2) равные отрезки имеют равные длины; 3) длина целого отрезка равна сумме длин частей, на которые он делится любой его внутренней точкой.

8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?

Расстоянием между двумя точками в евклидовой геометрии называется длина отрезка, соединяющего эти точки. Если даны точки $A$ и $B$, то расстояние между ними — это длина отрезка $AB$. Расстояние всегда является неотрицательным числом.

Ответ: Расстоянием между двумя данными точками называется длина отрезка, концами которого являются эти точки.

1.1. Точка $M$ лежит на прямой $CD$ между точками $C$ и $D$. Найдите длину отрезка $CD$, если:

1) $CM = 2,5$ см, $MD = 3,5$ см;

2) $CM = 3,1$ дм, $MD = 4,6$ дм;

3) $CM = 12,3$ м, $MD = 5,8$ м.

Поскольку точка М лежит на прямой CD между точками С и D, то по основному свойству измерения отрезков длина отрезка CD равна сумме длин отрезков CM и MD. Для решения задачи во всех пунктах используется одна и та же формула:

$CD = CM + MD$

1) Дано: $CM = 2,5$ см, $MD = 3,5$ см.

Подставляем данные значения в формулу, чтобы найти длину отрезка CD:

$CD = 2,5 \text{ см} + 3,5 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: 6 см.

2) Дано: $CM = 3,1$ дм, $MD = 4,6$ дм.

Подставляем данные значения в формулу, чтобы найти длину отрезка CD:

$CD = 3,1 \text{ дм} + 4,6 \text{ дм} = 7,7 \text{ дм}$.

Ответ: 7,7 дм.

3) Дано: $CM = 12,3$ м, $MD = 5,8$ м.

Подставляем данные значения в формулу, чтобы найти длину отрезка CD:

$CD = 12,3 \text{ м} + 5,8 \text{ м} = 18,1 \text{ м}$.

Ответ: 18,1 м.

1.2. Отметьте на прямой две точки $A$ и $B$. Отметьте на глаз середину отрезка $AB$. Проверьте правильность построения с помощью линейки.

Эта задача является практической и предполагает выполнение последовательных действий: построение на глаз и последующую проверку с помощью инструмента.

Построение отрезка и его середины

1. Начертите на листе бумаги прямую линию.

2. Отметьте на этой прямой две любые точки и обозначьте их заглавными латинскими буквами А и В. Эти точки являются концами отрезка АВ.

3. Теперь, не пользуясь измерительными приборами, а лишь на глаз, определите, где находится середина отрезка АВ. Поставьте в этом месте точку и обозначьте ее буквой М.

Проверка правильности построения

Для проверки точности вашего глазомера воспользуйтесь линейкой:

• Приложите линейку к отрезку так, чтобы ее нулевое деление совпало с точкой А.
• Измерьте длину всего отрезка АВ.
• Затем измерьте длину отрезка АМ (расстояние от точки А до отмеченной вами точки М).
• Измерьте длину отрезка МВ (расстояние от точки М до точки В).

Точка М является серединой отрезка АВ в том и только в том случае, если она делит его на два равных по длине отрезка. Это означает, что должно выполняться равенство:

$AM = MB$

Также длина каждого из этих отрезков должна быть равна половине длины всего отрезка АВ:

$AM = MB = \frac{1}{2}AB$

Сравните длины АМ и МВ, которые вы измерили. Если они равны, то вы абсолютно точно нашли середину. Если длины немного отличаются, то разница между ними и будет погрешностью вашего построения.

Например:

Вы измерили и получили, что длина отрезка $AB = 8$ см.

Следовательно, его середина должна делить его на два отрезка по $8 \div 2 = 4$ см каждый.

При измерении отмеченной вами точки М, вы получили, что $AM = 4.2$ см, а $MB = 3.8$ см. Это значит, что вы нашли середину с небольшой погрешностью.

Ответ: Для выполнения задания необходимо начертить отрезок АВ, отметить его середину М «на глаз». Затем, для проверки, с помощью линейки измерить длины отрезков АМ и МВ. Если $AM = MB$, то построение выполнено верно. Математически точка М является серединой отрезка АВ, если она делит его на два равных отрезка, то есть $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

1.3. Три точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. Известно, что $AB = 4,3$ см, $AC = 7,5$ см, $BC = 3,2$ см. Может ли точка $A$ лежать между точками $B$ и $C$? Может ли точка $C$ лежать между точками $A$ и $B$? Какая из трех точек ($A$, $B$, $C$) лежит между двумя другими?

Чтобы определить взаимное расположение трех точек A, B и C на одной прямой, необходимо проверить, выполняется ли для какой-либо из них аксиома измерения отрезков. Согласно этой аксиоме, если точка лежит между двумя другими, то длина большего отрезка равна сумме длин двух меньших. Мы должны проверить три возможных случая расположения точек.

Нам даны длины отрезков: $AB = 4,3$ см, $AC = 7,5$ см, $BC = 3,2$ см.

Может ли точка А лежать между точками В и С?

Если точка А лежит между точками В и С, то должно выполняться равенство $BA + AC = BC$.

Проверим это условие, подставив известные значения. Длина отрезка не зависит от порядка точек, поэтому $BA = AB = 4,3$ см.

$BA + AC = 4,3 \text{ см} + 7,5 \text{ см} = 11,8 \text{ см}$.

Сравниваем полученный результат с длиной отрезка $BC$:

$11,8 \text{ см} \neq 3,2 \text{ см}$.

Равенство не выполняется, следовательно, точка А не может лежать между точками В и С.

Ответ: нет, не может.

Может ли точка С лежать между точками А и В?

Если точка С лежит между точками А и В, то должно выполняться равенство $AC + CB = AB$.

Проверим это условие. Длина отрезка $CB$ равна длине $BC$, то есть $3,2$ см.

$AC + CB = 7,5 \text{ см} + 3,2 \text{ см} = 10,7 \text{ см}$.

Сравниваем полученный результат с длиной отрезка $AB$:

$10,7 \text{ см} \neq 4,3 \text{ см}$.

Равенство не выполняется, следовательно, точка С не может лежать между точками А и В.

Ответ: нет, не может.

Какая из трех точек (А, В, С) лежит между двумя другими?

Поскольку точки A и C не лежат между двумя другими, проверим последний возможный вариант: точка B лежит между точками A и C. В этом случае должно выполняться равенство $AB + BC = AC$.

Подставим известные значения:

$AB + BC = 4,3 \text{ см} + 3,2 \text{ см} = 7,5 \text{ см}$.

Сравним полученный результат с длиной отрезка $AC$:

$7,5 \text{ см} = 7,5 \text{ см}$.

Равенство выполняется. Это означает, что именно точка В лежит между точками А и С.

Ответ: точка B лежит между точками A и C.

1.4. Точки A, B, C лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка B отрезку AC, если $AC = 5$ см, $BC = 7$ см? Объясните ответ.

Для того чтобы точка B принадлежала отрезку AC, должно выполняться свойство сложения отрезков: если точка B лежит между точками A и C, то длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC. Математически это записывается так: $AC = AB + BC$.

Из этого свойства следует, что длина любой части отрезка (например, BC) не может быть больше длины всего отрезка (AC). То есть, для принадлежности точки B отрезку AC должно выполняться неравенство $BC \le AC$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие длины: $AC = 5$ см и $BC = 7$ см.

Сравним эти значения: $7 \text{ см} > 5 \text{ см}$, что означает $BC > AC$.

Полученное неравенство $BC > AC$ противоречит необходимому условию $BC \le AC$. Следовательно, точка B не может лежать на отрезке AC, так как часть отрезка не может быть длиннее целого отрезка.

Если бы мы предположили, что точка B лежит на отрезке AC, то из формулы $AC = AB + BC$ мы бы получили $5 = AB + 7$. Это означало бы, что длина отрезка AB равна $5 - 7 = -2$ см, что невозможно, так как длина не может быть отрицательным числом.

Таким образом, точка B не принадлежит отрезку AC. Поскольку все три точки лежат на одной прямой, точка A должна находиться между точками B и C.

Ответ: Нет, точка B не принадлежит отрезку AC.