Страница 12 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.16. 1) Точки А и В расположены по разные стороны от прямой $b$, $C \in b$, $AB = 29$ см, $AC = 14$ см, $CB = 16$ см. Является ли точка $C$ точкой пересечения $AB$ и $b$? 2) Точки $E$ и $F$ расположены на отрезке $CD$ так, что $CE = DF$, точка $E$ лежит между точками $C$ и $F$. Расстояние между серединами отрезков $CE$ и $DF$ равно $8,5$ дм, а длина отрезка $CD$ равна $1,2$ м. Найдите $EF$.

1) Для того чтобы точка $C$ была точкой пересечения отрезка $AB$ и прямой $b$, необходимо, чтобы точки $A$, $C$ и $B$ были коллинеарны (лежали на одной прямой), причем точка $C$ должна лежать между точками $A$ и $B$. Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то согласно аксиоме измерения отрезков, должно выполняться равенство: $AC + CB = AB$.

Проверим это условие, используя данные из задачи:

$AC = 14$ см

$CB = 16$ см

$AB = 29$ см

Найдем сумму длин отрезков $AC$ и $CB$:

$AC + CB = 14 \text{ см} + 16 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

Теперь сравним полученную сумму с длиной отрезка $AB$:

$30 \text{ см} \neq 29 \text{ см}$.

Так как равенство $AC + CB = AB$ не выполняется, точка $C$ не лежит на отрезке $AB$. Следовательно, точка $C$ не является точкой пересечения отрезка $AB$ и прямой $b$.

Ответ: нет, точка $C$ не является точкой пересечения $AB$ и $b$.

2) Для решения задачи сначала приведем все длины к одной единице измерения. Удобнее всего использовать дециметры (дм).

Длина отрезка $CD = 1,2 \text{ м} = 12 \text{ дм}$.

Расстояние между серединами отрезков $CE$ и $DF$ равно $8,5$ дм.

Пусть точка $M$ — середина отрезка $CE$, а точка $N$ — середина отрезка $DF$. По условию, расстояние $MN = 8,5$ дм.

Из условия следует, что точки на прямой расположены в следующем порядке: $C, E, F, D$. Расстояние $MN$ можно выразить как сумму длин составляющих его отрезков:

$MN = ME + EF + FN$.

По определению середины отрезка:

$ME = \frac{1}{2}CE$

$FN = \frac{1}{2}DF$

Подставим эти выражения в формулу для $MN$:

$MN = \frac{1}{2}CE + EF + \frac{1}{2}DF$.

По условию $CE = DF$. Обозначим длину этих равных отрезков через $x$, то есть $CE = DF = x$.

Тогда выражение для $MN$ примет вид:

$MN = \frac{1}{2}x + EF + \frac{1}{2}x = x + EF$.

Так как $MN = 8,5$ дм, мы получаем первое уравнение: $x + EF = 8,5$.

Длина всего отрезка $CD$ также складывается из длин его частей:

$CD = CE + EF + FD$.

Подставив наши обозначения, получаем:

$CD = x + EF + x = 2x + EF$.

Так как $CD = 12$ дм, мы получаем второе уравнение: $2x + EF = 12$.

Теперь решим систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + EF = 8,5 \\ 2x + EF = 12 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(2x + EF) - (x + EF) = 12 - 8,5$

$x = 3,5$ дм.

Мы нашли длину отрезков $CE$ и $DF$. Теперь найдем $EF$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$3,5 + EF = 8,5$

$EF = 8,5 - 3,5$

$EF = 5$ дм.

Ответ: $5$ дм.

1.17. Даны точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Известно, что точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой и точки $B$, $C$, $D$ также лежат на одной прямой. Докажите, что все четыре точки лежат на одной прямой.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся одной из фундаментальных аксиом евклидовой геометрии: через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.

По условию задачи, точки A, B и C лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую как $l_1$.

Также по условию, точки B, C и D лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую как $l_2$.

Рассмотрим точки B и C. Эти точки являются общими для обеих прямых, $l_1$ и $l_2$.

Предположим, что точки B и C различны ($B \neq C$). Этот случай является основным, так как для однозначного задания прямой необходимо две различные точки.

Согласно аксиоме, через две различные точки B и C проходит единственная прямая. Поскольку и прямая $l_1$ (содержащая A, B, C), и прямая $l_2$ (содержащая B, C, D) проходят через эти две общие точки, они должны совпадать.

Таким образом, $l_1 = l_2$. Обозначим эту единственную прямую как $l$.

Так как точка A лежит на прямой $l_1$, она лежит и на прямой $l$.

Так как точка D лежит на прямой $l_2$, она лежит и на прямой $l$.

Точки B и C по определению также лежат на прямой $l$.

Следовательно, все четыре точки A, B, C и D лежат на одной и той же прямой $l$, что и требовалось доказать.

(Примечание: если бы точки B и C совпадали, утверждение было бы не всегда верным, так как через одну точку проходит бесконечное число прямых. Однако условие задачи подразумевает наиболее общий случай, где B и C различны).

Ответ: Доказательство основано на аксиоме, что через две различные точки проходит единственная прямая. Пусть прямая, на которой лежат точки A, B, C, называется $l_1$, а прямая, на которой лежат B, C, D, — $l_2$. Точки B и C являются общими для прямых $l_1$ и $l_2$. Поскольку через две различные точки (B и C) может проходить только одна прямая, то прямые $l_1$ и $l_2$ должны совпадать. Следовательно, все четыре точки A, B, C, D лежат на одной и той же прямой.

1.18. Даны прямые $p$, $q$, $m$ и $n$. Известно, что прямые $p$, $q$, $m$ пересекаются в одной точке и прямые $q$, $m$, $n$ также пересекаются в одной точке. Докажите, что все четыре прямые проходят через одну точку.

Пусть $A$ — точка, в которой пересекаются прямые $p$, $q$ и $m$. По определению, это означает, что точка $A$ принадлежит каждой из этих прямых: $A \in p$, $A \in q$ и $A \in m$.

Пусть $B$ — точка, в которой пересекаются прямые $q$, $m$ и $n$. Соответственно, это означает, что $B \in q$, $B \in m$ и $B \in n$.

Из этих двух условий следует, что обе точки, $A$ и $B$, являются общими точками для прямых $q$ и $m$.

Далее рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямых $q$ и $m$:

Прямые $q$ и $m$ различны. Согласно фундаментальной аксиоме геометрии, две различные прямые могут пересекаться не более чем в одной точке. Поскольку из условия задачи следует, что у прямых $q$ и $m$ есть общие точки, они не могут быть параллельными, а значит, пересекаются ровно в одной точке. Так как и точка $A$, и точка $B$ являются точками этого пересечения, они должны совпадать: $A = B$.

Прямые $q$ и $m$ совпадают. В этом вырожденном случае утверждение не всегда верно. Если $q$ и $m$ — это одна и та же прямая $L$, то прямая $p$ может пересекать $L$ в точке $A$, а прямая $n$ — в другой точке $B$, при этом $A$ не обязательно равно $B$. В стандартных формулировках подобных задач такой случай, как правило, исключается, и прямые считаются различными.

Таким образом, в основном, невырожденном случае мы приходим к выводу, что $A = B$. Обозначим эту единственную общую точку как $O$. Поскольку $A \in p$ и $B \in n$, то и точка $O$ (равная и $A$, и $B$) принадлежит всем четырем прямым: $p, q, m$ и $n$. Следовательно, все четыре прямые проходят через одну точку $O$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1.19. На прямой отмечены точки $O$, $A$ и $B$ так, что $OA = 12$ см, $OB = 9$ см. Найдите расстояние между серединами отрезков $OA$ и $OB$, если точка $O$:

1) лежит на отрезке $AB$;

2) не лежит на отрезке $AB$ (рис. 1.13).

Рис. 1.13

Обозначим середину отрезка OA точкой M, а середину отрезка OB — точкой N. Требуется найти длину отрезка MN.

Расстояние от начала отрезка (точки O) до его середины равно половине длины всего отрезка.

Найдем расстояние от точки O до середин отрезков OA и OB:

Расстояние до середины M отрезка OA: $OM = \frac{OA}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см}$.

Расстояние до середины N отрезка OB: $ON = \frac{OB}{2} = \frac{9 \text{ см}}{2} = 4,5 \text{ см}$.

1) точка O лежит на отрезке AB

В этом случае точки A и B расположены по разные стороны от точки O, то есть отрезки OA и OB направлены в противоположные стороны. Порядок точек на прямой: A–O–B.

Середина M отрезка OA и середина N отрезка OB также будут находиться по разные стороны от точки O. Следовательно, расстояние между точками M и N равно сумме их расстояний от точки O:

$MN = OM + ON = 6 \text{ см} + 4,5 \text{ см} = 10,5 \text{ см}$.

Ответ: 10,5 см.

2) точка O не лежит на отрезке AB

В этом случае точки A и B расположены по одну сторону от точки O, а отрезки OA и OB лежат на одном луче с началом в точке O.

Поскольку $OA = 12$ см, а $OB = 9$ см, то $OA > OB$. Это означает, что точка B лежит между точками O и A. Порядок точек на прямой: O–B–A.

Так как середины M и N лежат на одном луче, исходящем из точки O, расстояние между ними равно модулю разности их расстояний от точки O:

$MN = |OM - ON| = |6 \text{ см} - 4,5 \text{ см}| = 1,5 \text{ см}$.

Ответ: 1,5 см.

1.20. Отрезок, длина которого равна $a$, разделен произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.

Пусть дан отрезок, длина которого равна $a$. Обозначим его концы как точки $A$ и $B$, так что длина $AB = a$.

Выберем на этом отрезке произвольную точку $C$. Эта точка делит отрезок $AB$ на два меньших отрезка: $AC$ и $CB$.

Обозначим длину первого отрезка $AC$ через $x$. Поскольку общая длина $AB$ равна $a$, то длина второго отрезка $CB$ будет равна $a - x$.

Теперь найдем середины этих двух отрезков.

• Пусть точка $M$ — середина отрезка $AC$. Это означает, что $M$ делит $AC$ пополам, и длина отрезка $MC$ равна $\frac{x}{2}$.
• Пусть точка $N$ — середина отрезка $CB$. Это означает, что $N$ делит $CB$ пополам, и длина отрезка $CN$ равна $\frac{a - x}{2}$.

Точки на исходном отрезке располагаются в следующем порядке: $A, M, C, N, B$. Искомое расстояние — это расстояние между точками $M$ и $N$, то есть длина отрезка $MN$.

Отрезок $MN$ состоит из двух примыкающих друг к другу отрезков: $MC$ и $CN$. Следовательно, его длина равна сумме их длин: $MN = MC + CN$

Подставим известные нам выражения для длин $MC$ и $CN$: $MN = \frac{x}{2} + \frac{a - x}{2}$

Сложим дроби, приведя их к общему знаменателю: $MN = \frac{x + (a - x)}{2} = \frac{x + a - x}{2} = \frac{a}{2}$

Как видно из результата, расстояние между серединами полученных отрезков не зависит от положения точки $C$ (то есть от значения $x$) и всегда равно половине длины исходного отрезка $a$.

Ответ: $\frac{a}{2}$

1.21. Отрезок, длина которого равна 28 см, разделен на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 16 см. Найдите длину среднего отрезка.

Обозначим длину всего отрезка как $L$, а длины трех неравных отрезков, на которые он разделен, как $l_1$, $l_2$ и $l_3$ в порядке их расположения.

По условию задачи, общая длина отрезка составляет 28 см. Следовательно, сумма длин трех частей равна общей длине:

$L = l_1 + l_2 + l_3 = 28$ см.

Крайними отрезками являются первый (длиной $l_1$) и третий (длиной $l_3$). Средний отрезок имеет длину $l_2$.

Расстояние между серединами крайних отрезков можно представить как сумму половины длины первого отрезка, полной длины среднего отрезка и половины длины третьего отрезка. Если представить весь отрезок на числовой прямой, то середина первого отрезка находится на расстоянии $\frac{l_1}{2}$ от начала, а середина третьего отрезка находится на расстоянии $l_1 + l_2 + \frac{l_3}{2}$ от начала. Расстояние $D$ между этими серединами равно разности их координат:

$D = (l_1 + l_2 + \frac{l_3}{2}) - \frac{l_1}{2} = \frac{l_1}{2} + l_2 + \frac{l_3}{2}$

По условию, это расстояние равно 16 см:

$\frac{l_1}{2} + l_2 + \frac{l_3}{2} = 16$

Сгруппируем слагаемые в этом уравнении:

$\frac{l_1 + l_3}{2} + l_2 = 16$

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $l_1 + l_2 + l_3 = 28$

2) $\frac{l_1 + l_3}{2} + l_2 = 16$

Из первого уравнения выразим сумму длин крайних отрезков $(l_1 + l_3)$ через длину среднего отрезка $l_2$:

$l_1 + l_3 = 28 - l_2$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{28 - l_2}{2} + l_2 = 16$

Решим полученное уравнение относительно $l_2$:

$\frac{28}{2} - \frac{l_2}{2} + l_2 = 16$

$14 + \frac{l_2}{2} = 16$

$\frac{l_2}{2} = 16 - 14$

$\frac{l_2}{2} = 2$

$l_2 = 4$ см.

Таким образом, длина среднего отрезка равна 4 см.

Ответ: 4 см.

1.22. 1) На прямой $a$ расположены точки $P, A$ и $B$. Найдите $PA$ и $PB$, если $AB = 6$ см и $PA + PB = 9$ см;

2) На прямой отмечены последовательно точки $A, B, C$ и $D$ так, что $AB = CD$. Существуют ли еще пары равных отрезков с концами в названных точках?

1.23. Отрезки $AB$ и $CD$ расположены на одной прямой, а точки $B$ и $C$ – ближайшие друг другу точки. Найдите длину отрезка $AD$, если $BC = 5$ см и расстояние между серединами этих отрезков равно $17$ см.

Пусть M — середина отрезка AB, а N — середина отрезка CD.

Согласно условию, отрезки AB и CD лежат на одной прямой, причём точки B и C являются ближайшими друг к другу. Это означает, что отрезки не пересекаются и расположены друг за другом. Таким образом, точки на прямой располагаются в последовательности A, B, C, D.

Длина всего отрезка AD является суммой длин составляющих его отрезков AB, BC и CD:

$AD = AB + BC + CD$

Расстояние между серединами M и N (отрезок MN) также можно представить в виде суммы длин отрезков, расположенных между этими точками. Отрезок MN включает в себя вторую половину отрезка AB (отрезок MB), весь отрезок BC и первую половину отрезка CD (отрезок CN).

$MN = MB + BC + CN$

По определению середины отрезка, мы знаем, что:

$MB = \frac{1}{2}AB$

$CN = \frac{1}{2}CD$

Подставим эти выражения в формулу для длины MN:

$MN = \frac{1}{2}AB + BC + \frac{1}{2}CD$

В условие даны значения $BC = 5$ см и $MN = 17$ см. Подставим их в уравнение:

$17 = \frac{1}{2}AB + 5 + \frac{1}{2}CD$

Выразим из этого уравнения сумму длин отрезков AB и CD. Сначала сгруппируем слагаемые с AB и CD и вычтем 5 из обеих частей:

$17 - 5 = \frac{1}{2}(AB + CD)$

$12 = \frac{1}{2}(AB + CD)$

Теперь умножим обе части уравнения на 2:

$AB + CD = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Теперь мы можем вычислить длину отрезка AD, зная сумму длин AB и CD, а также длину BC:

$AD = (AB + CD) + BC = 24 + 5 = 29$ см.

Ответ: 29 см.