Номер 1.18, страница 12 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.18. Даны прямые $p$, $q$, $m$ и $n$. Известно, что прямые $p$, $q$, $m$ пересекаются в одной точке и прямые $q$, $m$, $n$ также пересекаются в одной точке. Докажите, что все четыре прямые проходят через одну точку.

Пусть $A$ — точка, в которой пересекаются прямые $p$, $q$ и $m$. По определению, это означает, что точка $A$ принадлежит каждой из этих прямых: $A \in p$, $A \in q$ и $A \in m$.

Пусть $B$ — точка, в которой пересекаются прямые $q$, $m$ и $n$. Соответственно, это означает, что $B \in q$, $B \in m$ и $B \in n$.

Из этих двух условий следует, что обе точки, $A$ и $B$, являются общими точками для прямых $q$ и $m$.

Далее рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямых $q$ и $m$:

Прямые $q$ и $m$ различны. Согласно фундаментальной аксиоме геометрии, две различные прямые могут пересекаться не более чем в одной точке. Поскольку из условия задачи следует, что у прямых $q$ и $m$ есть общие точки, они не могут быть параллельными, а значит, пересекаются ровно в одной точке. Так как и точка $A$, и точка $B$ являются точками этого пересечения, они должны совпадать: $A = B$.

Прямые $q$ и $m$ совпадают. В этом вырожденном случае утверждение не всегда верно. Если $q$ и $m$ — это одна и та же прямая $L$, то прямая $p$ может пересекать $L$ в точке $A$, а прямая $n$ — в другой точке $B$, при этом $A$ не обязательно равно $B$. В стандартных формулировках подобных задач такой случай, как правило, исключается, и прямые считаются различными.

Таким образом, в основном, невырожденном случае мы приходим к выводу, что $A = B$. Обозначим эту единственную общую точку как $O$. Поскольку $A \in p$ и $B \in n$, то и точка $O$ (равная и $A$, и $B$) принадлежит всем четырем прямым: $p, q, m$ и $n$. Следовательно, все четыре прямые проходят через одну точку $O$.

Ответ: Что и требовалось доказать.