Номер 1.16, страница 12 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.16. 1) Точки А и В расположены по разные стороны от прямой $b$, $C \in b$, $AB = 29$ см, $AC = 14$ см, $CB = 16$ см. Является ли точка $C$ точкой пересечения $AB$ и $b$? 2) Точки $E$ и $F$ расположены на отрезке $CD$ так, что $CE = DF$, точка $E$ лежит между точками $C$ и $F$. Расстояние между серединами отрезков $CE$ и $DF$ равно $8,5$ дм, а длина отрезка $CD$ равна $1,2$ м. Найдите $EF$.

1) Для того чтобы точка $C$ была точкой пересечения отрезка $AB$ и прямой $b$, необходимо, чтобы точки $A$, $C$ и $B$ были коллинеарны (лежали на одной прямой), причем точка $C$ должна лежать между точками $A$ и $B$. Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то согласно аксиоме измерения отрезков, должно выполняться равенство: $AC + CB = AB$.

Проверим это условие, используя данные из задачи:

$AC = 14$ см

$CB = 16$ см

$AB = 29$ см

Найдем сумму длин отрезков $AC$ и $CB$:

$AC + CB = 14 \text{ см} + 16 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

Теперь сравним полученную сумму с длиной отрезка $AB$:

$30 \text{ см} \neq 29 \text{ см}$.

Так как равенство $AC + CB = AB$ не выполняется, точка $C$ не лежит на отрезке $AB$. Следовательно, точка $C$ не является точкой пересечения отрезка $AB$ и прямой $b$.

Ответ: нет, точка $C$ не является точкой пересечения $AB$ и $b$.

2) Для решения задачи сначала приведем все длины к одной единице измерения. Удобнее всего использовать дециметры (дм).

Длина отрезка $CD = 1,2 \text{ м} = 12 \text{ дм}$.

Расстояние между серединами отрезков $CE$ и $DF$ равно $8,5$ дм.

Пусть точка $M$ — середина отрезка $CE$, а точка $N$ — середина отрезка $DF$. По условию, расстояние $MN = 8,5$ дм.

Из условия следует, что точки на прямой расположены в следующем порядке: $C, E, F, D$. Расстояние $MN$ можно выразить как сумму длин составляющих его отрезков:

$MN = ME + EF + FN$.

По определению середины отрезка:

$ME = \frac{1}{2}CE$

$FN = \frac{1}{2}DF$

Подставим эти выражения в формулу для $MN$:

$MN = \frac{1}{2}CE + EF + \frac{1}{2}DF$.

По условию $CE = DF$. Обозначим длину этих равных отрезков через $x$, то есть $CE = DF = x$.

Тогда выражение для $MN$ примет вид:

$MN = \frac{1}{2}x + EF + \frac{1}{2}x = x + EF$.

Так как $MN = 8,5$ дм, мы получаем первое уравнение: $x + EF = 8,5$.

Длина всего отрезка $CD$ также складывается из длин его частей:

$CD = CE + EF + FD$.

Подставив наши обозначения, получаем:

$CD = x + EF + x = 2x + EF$.

Так как $CD = 12$ дм, мы получаем второе уравнение: $2x + EF = 12$.

Теперь решим систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + EF = 8,5 \\ 2x + EF = 12 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(2x + EF) - (x + EF) = 12 - 8,5$

$x = 3,5$ дм.

Мы нашли длину отрезков $CE$ и $DF$. Теперь найдем $EF$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$3,5 + EF = 8,5$

$EF = 8,5 - 3,5$

$EF = 5$ дм.

Ответ: $5$ дм.