Страница 25 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.59. Дан треугольник $ABC$. Прямая $m$ параллельна прямой $AD$, $D \in BC$, $P \in AB$, $Q \in AC$ и $PQ \parallel BC$. Докажите, что прямая $m$ пересекает прямые $AB, AC, BC, PD, PQ$ и $QD$ (рис. 1.35).

Рис. 1.35

В основе доказательства лежит тот факт, что две прямые на плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда они не параллельны. По условию задачи, прямая $m$ параллельна прямой $AD$ ($m \parallel AD$). Следовательно, чтобы доказать, что прямая $m$ пересекает какую-либо прямую $l$, достаточно доказать, что прямая $l$ не параллельна прямой $AD$ ($l \not\parallel AD$). В решении мы будем исходить из общего положения точек, как показано на рисунке, где точки $D, P, Q$ не совпадают с вершинами треугольника, так как обратное приводило бы к вырожденным случаям, для которых утверждение задачи не всегда выполняется.

Прямая AB

Докажем, что прямая $AB$ не параллельна прямой $AD$. Эти две прямые имеют общую точку $A$. Две прямые, проходящие через одну точку, не параллельны, если они не совпадают. Прямые $AB$ и $AD$ могли бы совпасть только в том случае, если бы точка $D$ лежала на прямой $AB$. По условию, точка $D$ лежит на прямой $BC$. Так как $ABC$ — это треугольник, его вершины не лежат на одной прямой, и прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в единственной точке $B$. Следовательно, для того чтобы точка $D$ лежала на прямой $AB$, необходимо, чтобы $D$ совпадала с $B$. В общем (невырожденном) случае $D \neq B$, поэтому прямые $AB$ и $AD$ различны. Так как они пересекаются в точке $A$, они не параллельны. Из $AB \not\parallel AD$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel AB$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $AB$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $AB$.

Прямая AC

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Прямые $AC$ и $AD$ имеют общую точку $A$. Они не совпадают, поскольку точка $D$ лежит на прямой $BC$, а единственной общей точкой прямых $AC$ и $BC$ является точка $C$. В общем случае $D \neq C$, поэтому прямые $AC$ и $AD$ различны. Так как они пересекаются в точке $A$, они не параллельны. Из $AC \not\parallel AD$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel AC$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $AC$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $AC$.

Прямая BC

Докажем, что прямая $BC$ не параллельна прямой $AD$. По условию, точка $D$ принадлежит прямой $BC$ ($D \in BC$). Это означает, что прямая $AD$ имеет общую точку $D$ с прямой $BC$. Так как $A, B, C$ — вершины треугольника, точка $A$ не лежит на прямой $BC$, поэтому прямые $AD$ и $BC$ не совпадают. Поскольку прямые $AD$ и $BC$ пересекаются, они не параллельны. Из $BC \not\parallel AD$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel BC$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $BC$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $BC$.

Прямая PD

Докажем, что прямая $PD$ не параллельна прямой $AD$. Эти прямые имеют общую точку $D$. Они не параллельны, если не совпадают. Совпадение прямых $PD$ и $AD$ возможно только если точка $P$ лежит на прямой $AD$. По условию, $P \in AB$. Общей точкой прямых $AB$ и $AD$ является точка $A$. Значит, $P$ может лежать на прямой $AD$ только если $P=A$. Если $P=A$, то из условия $PQ \parallel BC$ и теоремы Фалеса следует, что $Q=A$, и в этом случае прямая $PQ$ не определена. Следовательно, $P \neq A$, и прямые $PD$ и $AD$ различны. Так как они пересекаются в точке $D$, они не параллельны. Из $PD \not\parallel AD$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel PD$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $PD$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $PD$.

Прямая QD

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Прямые $QD$ и $AD$ имеют общую точку $D$. Они не совпадают, так как $Q \in AC$ и $Q \neq A$. Следовательно, прямые $QD$ и $AD$ пересекаются и не параллельны. Из $QD \not\parallel AD$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel QD$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $QD$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $QD$.

Прямая PQ

Докажем, что прямая $PQ$ не параллельна прямой $AD$. По условию $PQ \parallel BC$. Ранее мы установили, что прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $D$, а значит, они не параллельны ($AD \not\parallel BC$). Допустим, что $AD \parallel PQ$. Тогда из $AD \parallel PQ$ и $PQ \parallel BC$ по свойству транзитивности параллельности прямых следовало бы, что $AD \parallel BC$. Это противоречит ранее установленному факту. Значит, наше допущение неверно, и $AD \not\parallel PQ$. Из $AD \not\parallel PQ$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel PQ$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $PQ$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $PQ$.

1.60. Дан треугольник $ABC$. На стороне $AC$ взята точка $B_1$, а на стороне $BC$ – точка $A_1$. Докажите, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются.

Для доказательства того, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются, необходимо рассмотреть все возможные расположения точек $A_1$ и $B_1$ на сторонах треугольника. Разделим доказательство на два случая.

Случай 1: Точки $A_1$ и $B_1$ являются внутренними точками сторон $BC$ и $AC$ соответственно.

Это означает, что точка $A_1$ лежит на отрезке $BC$, но не совпадает с вершинами $B$ и $C$, а точка $B_1$ лежит на отрезке $AC$, но не совпадает с вершинами $A$ и $C$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и прямую, проходящую через точки $A$ и $A_1$. Обозначим эту прямую $l(AA_1)$. Поскольку точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ между точками $B$ и $C$, вершины $B$ и $C$ треугольника находятся в разных полуплоскостях относительно прямой $l(AA_1)$.

Теперь определим положение точки $B_1$. Точка $B_1$ по условию лежит на стороне $AC$. Весь отрезок $AC$ (за исключением точки $A$, которая принадлежит прямой $l(AA_1)$) расположен в одной полуплоскости относительно этой прямой. Это та же полуплоскость, в которой находится вершина $C$. Следовательно, точки $B_1$ и $C$ лежат в одной и той же полуплоскости относительно прямой $l(AA_1)$.

Так как точка $B$ находится в одной полуплоскости, а точка $C$ — в другой, и при этом точки $B_1$ и $C$ находятся в одной полуплоскости, то отсюда следует, что точки $B$ и $B_1$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $l(AA_1)$.

Согласно аксиоме о разделении плоскости, если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях относительно некоторой прямой, то этот отрезок пересекает данную прямую. Таким образом, отрезок $BB_1$ пересекает прямую $AA_1$ в некоторой точке, назовем ее $O$.

Далее необходимо показать, что точка пересечения $O$ принадлежит не только прямой $AA_1$, но и отрезку $AA_1$. Точка $O$ по определению принадлежит отрезку $BB_1$. Отрезок $BB_1$ соединяет вершину $B$ треугольника с точкой $B_1$ на противолежащей стороне $AC$. Такой отрезок (называемый чевианой) целиком содержится внутри треугольника $ABC$ или на его границе. Следовательно, точка $O$ также лежит внутри или на границе треугольника $ABC$.

Прямая $AA_1$ состоит из отрезка $AA_1$ и двух лучей, продолжающих его в обе стороны. Части прямой $AA_1$, не принадлежащие отрезку $AA_1$, находятся вне треугольника $ABC$. Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AA_1$ и одновременно находится внутри или на границе треугольника $ABC$, она обязана принадлежать отрезку $AA_1$.

Таким образом, точка $O$ является общей точкой для отрезков $AA_1$ и $BB_1$, что и доказывает их пересечение.

Случай 2: Хотя бы одна из точек, $A_1$ или $B_1$, совпадает с вершиной треугольника.

В этих граничных случаях утверждение становится очевидным, так как один из отрезков становится стороной треугольника, а второй соединяет вершину с точкой на этой стороне (или смежной с ней).

- Если $A_1$ совпадает с $C$, то отрезок $AA_1$ является стороной $AC$. Точка $B_1$ по условию лежит на стороне $AC$. Тогда отрезок $BB_1$ пересекает отрезок $AC$ (т.е. $AA_1$) в точке $B_1$.

- Если $A_1$ совпадает с $B$, то отрезок $AA_1$ является стороной $AB$. Отрезок $BB_1$ имеет общую точку $B$ с отрезком $AB$, следовательно, они пересекаются в точке $B$.

- Если $B_1$ совпадает с $A$, то отрезок $BB_1$ является стороной $BA$. Отрезок $AA_1$ имеет общую точку $A$ с отрезком $BA$, следовательно, они пересекаются в точке $A$.

- Если $B_1$ совпадает с $C$, то отрезок $BB_1$ является стороной $BC$. Точка $A_1$ по условию лежит на стороне $BC$. Тогда отрезок $AA_1$ пересекает отрезок $BC$ (т.е. $BB_1$) в точке $A_1$.

Во всех этих вариантах отрезки $AA_1$ и $BB_1$ имеют общую точку, то есть пересекаются.

Объединяя результаты обоих случаев, мы приходим к выводу, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ всегда пересекаются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1.61. $\triangle ABC = \triangle B_1 A_1 C_1$, причем $\angle B_1 = 15^\circ$, $B_1 C_1 = 5$ м.

1) Найдите $AC$ и угол $A_1$.

2) Может ли периметр треугольника $B_1 A_1 C_1$ быть больше, чем $2A_1 B_1 + AC$, если в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна стороне $BC$?

1)

По условию задачи даны два равных треугольника: $ \triangle ABC = \triangle B_1A_1C_1 $. Равенство треугольников означает, что их соответствующие углы и стороны равны. Причем соответствие вершин определяется порядком их записи в равенстве.

Таким образом, из равенства $ \triangle ABC = \triangle B_1A_1C_1 $ следует, что вершине $A$ соответствует вершина $B_1$, вершине $B$ — вершина $A_1$, а вершине $C$ — вершина $C_1$. Отсюда вытекают следующие равенства соответствующих сторон и углов:

$AC = B_1C_1$

$AB = B_1A_1$

$BC = A_1C_1$

$\angle A = \angle B_1$

$\angle B = \angle A_1$

$\angle C = \angle C_1$

В условии даны значения для треугольника $B_1A_1C_1$: $B_1C_1 = 5$ м и $\angle B_1 = 15^\circ$.

Используя приведенные выше равенства, находим искомые величины:

Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна соответствующей ей стороне $B_1C_1$ треугольника $B_1A_1C_1$:

$AC = B_1C_1 = 5$ м.

Угол $A$ треугольника $ABC$ равен соответствующему ему углу $B_1$ треугольника $B_1A_1C_1$:

$\angle A = \angle B_1 = 15^\circ$.

Ответ: $AC = 5$ м, $ \angle A = 15^\circ $.

2)

Необходимо выяснить, может ли периметр треугольника $B_1A_1C_1$ быть больше, чем выражение $2A_1B_1 + AC$. Запишем это предположение в виде неравенства:

$P_{B_1A_1C_1} > 2A_1B_1 + AC$

Периметр треугольника $B_1A_1C_1$ равен сумме длин его сторон:

$P_{B_1A_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1$

Подставим выражение для периметра в неравенство:

$A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1 > 2A_1B_1 + AC$

Из равенства треугольников $ \triangle ABC = \triangle B_1A_1C_1 $, установленного в первом пункте, мы знаем, что:

$A_1B_1 = AB$

$A_1C_1 = BC$

$B_1C_1 = AC$

Заменим стороны треугольника $B_1A_1C_1$ и сторону $AC$ на соответствующие им равные стороны треугольника $ABC$ в нашем неравенстве:

$AB + AC + BC > 2AB + AC$

Теперь упростим полученное неравенство. Вычтем из обеих частей $AC$:

$AB + BC > 2AB$

Далее вычтем из обеих частей $AB$:

$BC > AB$

Таким образом, исходное неравенство справедливо тогда и только тогда, когда сторона $BC$ больше стороны $AB$.

Однако по дополнительному условию этого пункта в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна стороне $BC$, то есть $AB = BC$.

Подставив это условие в полученное нами неравенство $BC > AB$, мы придем к противоречию:

$AB > AB$

Это неравенство является ложным при любом положительном значении $AB$. Следовательно, и исходное предположение о том, что периметр треугольника $B_1A_1C_1$ может быть больше, чем $2A_1B_1 + AC$, также ложно при заданном условии.

Ответ: Нет, не может.

1.62. $ABC = C_1A_1B_1$.

1) Найдите $B_1A_1$ и $C$, если $B_1 = 60^\circ$, $BC = 8$ м.

2) Может ли периметр треугольника $ABC$ быть равным $2AC + 3B_1C_1$, если известно, что все его стороны равны?

1)

Дано, что $\triangle ABC = \triangle C_1A_1B_1$. Это означает, что треугольники равны, и их соответствующие вершины, стороны и углы совпадают в указанном порядке. Из равенства треугольников следует, что соответствующие элементы равны:

• Вершина A соответствует вершине $C_1$, вершина B — вершине $A_1$, вершина C — вершине $B_1$.
• Сторона $BC$ соответствует стороне $A_1B_1$.
• Угол $\angle C$ соответствует углу $\angle B_1$.

По условию задачи даны $\angle B_1 = 60^\circ$ и $BC = 8$ м.

Найдем $\angle C$. Так как угол $\angle C$ треугольника $ABC$ соответствует углу $\angle B_1$ треугольника $C_1A_1B_1$, то их величины равны: $\angle C = \angle B_1 = 60^\circ$.

Найдем сторону $B_1A_1$. Сторона $B_1A_1$ (или $A_1B_1$) треугольника $C_1A_1B_1$ соответствует стороне $BC$ треугольника $ABC$. Следовательно, их длины равны: $B_1A_1 = BC = 8$ м.

Ответ: $B_1A_1 = 8$ м, $\angle C = 60^\circ$.

2)

По условию, все стороны треугольника $ABC$ равны. Это значит, что $\triangle ABC$ — равносторонний. Обозначим длину его стороны через $a$. Тогда $AB = BC = AC = a$.

Периметр треугольника $ABC$, обозначаемый как $P_{ABC}$, равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC = a + a + a = 3a$.

Рассмотрим выражение $2AC + 3B_1C_1$. Нам нужно выразить его через $a$.

Мы знаем, что $AC = a$.

Из равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle C_1A_1B_1$ следует, что сторона $B_1C_1$ (или $C_1B_1$) треугольника $C_1A_1B_1$ соответствует стороне $AC$ треугольника $ABC$. Значит, $B_1C_1 = AC = a$.

Теперь подставим эти значения в выражение: $2AC + 3B_1C_1 = 2a + 3a = 5a$.

Вопрос состоит в том, может ли выполняться равенство $P_{ABC} = 2AC + 3B_1C_1$.

Подставим полученные выражения через $a$: $3a = 5a$.

Это равенство верно только в том случае, если $5a - 3a = 0$, то есть $2a = 0$, и следовательно $a = 0$.

Однако, длина стороны треугольника должна быть положительным числом ($a > 0$). Если $a = 0$, то треугольник вырождается в точку, что не является треугольником в обычном понимании.

Следовательно, для любого невырожденного треугольника $ABC$ данное равенство выполняться не может.

Ответ: Нет, не может.

1.63. Докажите, что две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим две различные прямые, обозначим их $a$ и $b$, которые лежат в одной плоскости. Проанализируем, сколько общих точек они могут иметь.

Возможны следующие логические случаи для количества общих точек двух прямых:

1. Прямые не имеют ни одной общей точки.

2. Прямые имеют ровно одну общую точку.

3. Прямые имеют две или более общих точек.

Рассмотрим каждый из этих случаев для двух различных прямых $a$ и $b$.

Начнем с третьего случая. Предположим, что различные прямые $a$ и $b$ имеют две общие точки, назовем их $M$ и $N$. Это означает, что и прямая $a$, и прямая $b$ проходят через точки $M$ и $N$. Однако одна из фундаментальных аксиом планиметрии гласит: через две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Если бы обе прямые $a$ и $b$ проходили через точки $M$ и $N$, они бы совпадали. Но это противоречит условию, что прямые $a$ и $b$ — различные. Следовательно, две различные прямые не могут иметь две или более общих точек. Таким образом, третий случай невозможен.

Теперь рассмотрим оставшиеся два возможных случая, которые являются взаимоисключающими:

- Если прямые $a$ и $b$ не имеют общих точек (первый случай), то по определению они называются параллельными.

- Если прямые $a$ и $b$ имеют ровно одну общую точку (второй случай), то по определению они называются пересекающимися.

Поскольку для двух различных прямых не существует других возможностей, кроме как не иметь общих точек или иметь ровно одну общую точку, мы приходим к выводу, что две различные прямые на плоскости либо параллельны, либо пересекаются.

Ответ: Утверждение доказано. Две различные прямые на плоскости могут иметь либо ноль общих точек (в этом случае они параллельны), либо ровно одну общую точку (в этом случае они пересекаются). Другие варианты для различных прямых невозможны в соответствии с аксиомами геометрии.

1.64. Через точку, не лежащую на прямой $a$, проведены три прямые. Докажите, что, по крайней мере, две из них пересекают прямую $a$.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на этой прямой ($M \notin a$). Через точку $M$ проведены три различные прямые, назовем их $b$, $c$ и $d$.

Предположим, что утверждение задачи неверно. Это означает, что прямую $a$ пересекает менее двух прямых из данных трех, то есть только одна прямая или ни одной. Это эквивалентно тому, что по крайней мере две из трех прямых ($b$, $c$ и $d$) не пересекают прямую $a$.

Пусть, для определенности, прямые $b$ и $c$ не пересекают прямую $a$. В евклидовой геометрии на плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны. Следовательно, из нашего предположения следует, что прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$) и прямая $c$ также параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$).

Таким образом, мы пришли к выводу, что через одну и ту же точку $M$ проходят две различные прямые ($b$ и $c$), и обе они параллельны одной и той же прямой $a$.

Однако это противоречит аксиоме о параллельных прямых (пятому постулату Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, исходное утверждение является верным: по крайней мере, две из трех прямых, проведенных через точку, не лежащую на прямой $a$, пересекают эту прямую.

Ответ: Утверждение доказано.

1.65. Дано: $a \parallel b$, $b \parallel c$, $c \parallel d$. Докажите, что $a \parallel d$.

Для доказательства данного утверждения используется свойство (или аксиома) транзитивности параллельных прямых. Оно гласит, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Доказательство:

1. По условию задачи дано, что $a \parallel b$ и $b \parallel c$. Согласно свойству транзитивности, так как прямые a и c обе параллельны прямой b, то они параллельны и друг другу. Таким образом, мы получаем, что $a \parallel c$.

2. Теперь у нас есть новый факт: $a \parallel c$. Также из условия нам известно, что $c \parallel d$. Мы снова можем применить свойство транзитивности. Так как прямые a и d обе параллельны прямой c, то они параллельны между собой.

3. Из этого следует, что $a \parallel d$.

Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение $a \parallel d$ следует из двукратного применения свойства транзитивности параллельных прямых.

1.66. Населенные пункты $A$, $B$ и $C$ расположены вдоль прямолинейной трассы. Как располагаются эти населенные пункты, если расстояние между населенными пунктами $A$ и $B$ равно 32 км, между $B$ и $C$ – 18 км, а между $A$ и $C$ – 14 км?

Для того чтобы определить, как расположены населенные пункты A, B и C вдоль прямолинейной трассы, необходимо сопоставить данные расстояния. Если три точки лежат на одной прямой, то расстояние между двумя крайними точками должно быть равно сумме расстояний от каждой из этих крайних точек до точки, лежащей между ними.

Нам даны следующие расстояния:

Расстояние между A и B: $d_{AB} = 32$ км.

Расстояние между B и C: $d_{BC} = 18$ км.

Расстояние между A и C: $d_{AC} = 14$ км.

Рассмотрим три возможных варианта расположения точек на прямой:

1. Пункт A находится между B и C.

В этом случае должно выполняться равенство $d_{BC} = d_{BA} + d_{AC}$.

Подставляем известные значения: $18 = 32 + 14$.

Получаем $18 = 46$, что является неверным. Следовательно, этот вариант невозможен.

2. Пункт B находится между A и C.

В этом случае должно выполняться равенство $d_{AC} = d_{AB} + d_{BC}$.

Подставляем известные значения: $14 = 32 + 18$.

Получаем $14 = 50$, что является неверным. Следовательно, и этот вариант невозможен.

3. Пункт C находится между A и B.

В этом случае должно выполняться равенство $d_{AB} = d_{AC} + d_{CB}$.

Подставляем известные значения: $32 = 14 + 18$.

Получаем $32 = 32$. Это верное равенство.

Таким образом, единственно возможное расположение пунктов — это когда пункт C находится между пунктами A и B.

Ответ: Населенный пункт C расположен между населенными пунктами A и B.