Страница 32 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПЗ 1. С помощью транспортира и линейки начертите треугольник ABC, в котором:

1) $AB = 4,3$ см, $AC = 2,3$ см, $\angle A=23^\circ$;

2) $BC = 9$ см, $AB = 6,2$ см, $\angle B = 122^\circ$;

3) $AC = 3$ см, $BC = 4$ см, $\angle C = 90^\circ$.

2. С помощью транспортира и линейки начертите треугольник ABC, в котором:

1) $AB = 5$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 50^\circ$;

2) $AB = 6,2$ см, $\angle B = 62^\circ$, $\angle C = 48^\circ$.

1) $AB = 4,3$ см, $AC = 2,3$ см, $\angle A=23^\circ$;

Построение выполняется по двум сторонам и углу между ними. Алгоритм построения:

1. С помощью линейки построить отрезок $AB$ длиной $4,3$ см.
2. От луча $AB$ с помощью транспортира отложить угол, равный $23^\circ$, с вершиной в точке $A$.
3. На новой стороне угла от точки $A$ отложить отрезок $AC$ длиной $2,3$ см.
4. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен в соответствии с заданными условиями.

2) $BC = 9$ см, $AB = 6,2$ см, $\angle B=122^\circ$;

Построение также выполняется по двум сторонам и углу между ними. Алгоритм построения:

1. С помощью линейки построить отрезок $AB$ длиной $6,2$ см.
2. От луча $BA$ с помощью транспортира отложить угол, равный $122^\circ$, с вершиной в точке $B$.
3. На новой стороне угла от точки $B$ отложить отрезок $BC$ длиной $9$ см.
4. Соединить точки $A$ и $C$ отрезком.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен в соответствии с заданными условиями.

3) $AC = 3$ см, $BC = 4$ см, $\angle C=90^\circ$.

Это построение прямоугольного треугольника по двум катетам. Алгоритм построения:

1. С помощью линейки построить отрезок $AC$ длиной $3$ см.
2. В точке $C$ построить прямой угол ($90^\circ$) к отрезку $AC$. Для этого можно использовать транспортир или угольник.
3. На перпендикулярном луче от точки $C$ отложить отрезок $BC$ длиной $4$ см.
4. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен в соответствии с заданными условиями.

1) $AB = 5$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 50^\circ$;

Построение выполняется по стороне и двум прилежащим к ней углам. Алгоритм построения:

1. С помощью линейки построить отрезок $AB$ длиной $5$ см.
2. От луча $AB$ с помощью транспортира отложить угол $\angle A = 30^\circ$ с вершиной в точке $A$ и провести луч.
3. От луча $BA$ с помощью транспортира отложить угол $\angle B = 50^\circ$ с вершиной в точке $B$ и провести луч.
4. Точка пересечения двух лучей является вершиной $C$.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен в соответствии с заданными условиями.

2) $AB = 6,2$ см, $\angle B = 62^\circ$, $\angle C = 48^\circ$.

Построение выполняется по стороне и двум углам. Поскольку известен угол, не прилежащий к данной стороне, сначала найдем третий угол $\angle A$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (62^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Теперь задача сводится к построению треугольника по стороне $AB$ и двум прилежащим углам ($\angle A$ и $\angle B$). Алгоритм построения:

1. С помощью линейки построить отрезок $AB$ длиной $6,2$ см.
2. От луча $AB$ с помощью транспортира отложить угол $\angle A = 70^\circ$ с вершиной в точке $A$ и провести луч.
3. От луча $BA$ с помощью транспортира отложить угол $\angle B = 62^\circ$ с вершиной в точке $B$ и провести луч.
4. Точка пересечения лучей является вершиной $C$.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен в соответствии с заданными условиями.

1. Сформулируйте и докажите I признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы?

2. Сформулируйте и докажите II признак равенства треугольников.

3. Периметр одного из двух треугольников больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники?

1. Формулировка I признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых по условию:

1) $AB = A_1B_1$

2) $AC = A_1C_1$

3) $\angle A = \angle A_1$

Докажем, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство проводится методом наложения. Наложим $\triangle A_1B_1C_1$ на $\triangle ABC$.

Так как $\angle A = \angle A_1$, то мы можем наложить $\triangle A_1B_1C_1$ на $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с вершиной $A$, а стороны $A_1B_1$ и $A_1C_1$ наложились соответственно на лучи $AB$ и $AC$.

Поскольку по условию $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$, то сторона $A_1B_1$ совместится со стороной $AB$, а сторона $A_1C_1$ — со стороной $AC$. В результате этого наложения вершина $B_1$ совпадет с вершиной $B$, а вершина $C_1$ совпадет с вершиной $C$.

Следовательно, стороны $BC$ и $B_1C_1$ также совпадут.

Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ полностью совместятся, а значит, они равны по определению равенства фигур.

Аксиомы, используемые при доказательстве:

Доказательство основано на идее наложения, которая в школьном курсе геометрии является интуитивно понятным основным свойством. Более строго, оно опирается на следующие аксиомы:

• Основное свойство равенства фигур: равные фигуры можно совместить наложением.
• Аксиома откладывания отрезка: на любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один.
• Аксиома откладывания угла: от любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и притом только один.

Ответ: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство основано на методе наложения с использованием аксиом откладывания отрезков и углов.

2. Формулировка II признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых по условию:

1) $AB = A_1B_1$

2) $\angle A = \angle A_1$

3) $\angle B = \angle B_1$

Докажем, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с вершиной $A_1$, а сторона $AB$ пошла по стороне $A_1B_1$. Поскольку $AB = A_1B_1$, то вершина $B$ совпадет с вершиной $B_1$, и сторона $AB$ полностью совместится со стороной $A_1B_1$.

Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то сторона $AC$ пойдет по стороне $A_1C_1$, а сторона $BC$ — по стороне $B_1C_1$.

Точка $C$ (вершина $\triangle ABC$) является точкой пересечения сторон $AC$ и $BC$. Аналогично, точка $C_1$ (вершина $\triangle A_1B_1C_1$) является точкой пересечения сторон $A_1C_1$ и $B_1C_1$.

Поскольку при наложении лучи $AC$ и $A_1C_1$ совпали, а также лучи $BC$ и $B_1C_1$ совпали, то их точка пересечения $C$ должна совпасть с их точкой пересечения $C_1$.

Таким образом, все три вершины $\triangle ABC$ совпали с соответствующими вершинами $\triangle A_1B_1C_1$. Следовательно, треугольники полностью совместятся, а значит, они равны.

Ответ: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство основано на методе наложения.

3. По определению, два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. У равных треугольников равны все соответствующие элементы: стороны и углы.

Пусть даны два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Если они равны, то их соответствующие стороны равны:

$AB = A_1B_1$

$BC = B_1C_1$

$AC = A_1C_1$

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначим периметры как $P$ и $P_1$:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

$P_{A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1$

Из равенства соответствующих сторон следует, что $P_{ABC} = P_{A_1B_1C_1}$.

В условии задачи сказано, что периметр одного треугольника больше периметра другого. Это означает, что их периметры не равны. Если периметры не равны, то и сами треугольники не могут быть равными, так как равенство треугольников влечет за собой равенство их периметров.

Ответ: Нет, не могут. У равных треугольников соответствующие стороны равны, следовательно, и суммы длин сторон (периметры) должны быть равны. Если периметры различны, треугольники не могут быть равными.