Номер 1.63, страница 25 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.63. Докажите, что две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим две различные прямые, обозначим их $a$ и $b$, которые лежат в одной плоскости. Проанализируем, сколько общих точек они могут иметь.

Возможны следующие логические случаи для количества общих точек двух прямых:

1. Прямые не имеют ни одной общей точки.

2. Прямые имеют ровно одну общую точку.

3. Прямые имеют две или более общих точек.

Рассмотрим каждый из этих случаев для двух различных прямых $a$ и $b$.

Начнем с третьего случая. Предположим, что различные прямые $a$ и $b$ имеют две общие точки, назовем их $M$ и $N$. Это означает, что и прямая $a$, и прямая $b$ проходят через точки $M$ и $N$. Однако одна из фундаментальных аксиом планиметрии гласит: через две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Если бы обе прямые $a$ и $b$ проходили через точки $M$ и $N$, они бы совпадали. Но это противоречит условию, что прямые $a$ и $b$ — различные. Следовательно, две различные прямые не могут иметь две или более общих точек. Таким образом, третий случай невозможен.

Теперь рассмотрим оставшиеся два возможных случая, которые являются взаимоисключающими:

- Если прямые $a$ и $b$ не имеют общих точек (первый случай), то по определению они называются параллельными.

- Если прямые $a$ и $b$ имеют ровно одну общую точку (второй случай), то по определению они называются пересекающимися.

Поскольку для двух различных прямых не существует других возможностей, кроме как не иметь общих точек или иметь ровно одну общую точку, мы приходим к выводу, что две различные прямые на плоскости либо параллельны, либо пересекаются.

Ответ: Утверждение доказано. Две различные прямые на плоскости могут иметь либо ноль общих точек (в этом случае они параллельны), либо ровно одну общую точку (в этом случае они пересекаются). Другие варианты для различных прямых невозможны в соответствии с аксиомами геометрии.