Номер 1.73, страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.73. На рисунке 1.44 $\angle AOB = 50^{\circ}$, $\angle FOE=70^{\circ}$. Найдите углы AOC, BOD, COE и COD.

Рис. 1.44

Для решения задачи воспользуемся свойствами вертикальных и смежных углов. На рисунке три прямые (AD, BE, CF) пересекаются в точке O. Дано: $\angle AOB = 50^\circ$ и $\angle FOE = 70^\circ$.

Сначала найдем углы, которые являются вертикальными к данным. Вертикальные углы равны.

Угол $\angle BOC$ вертикален углу $\angle FOE$, следовательно: $\angle BOC = \angle FOE = 70^\circ$.

Угол $\angle DOE$ вертикален углу $\angle AOB$, следовательно: $\angle DOE = \angle AOB = 50^\circ$.

Теперь рассмотрим прямую AD. Угол $\angle AOD$ является развернутым, то есть равен $180^\circ$, так как точки A, O, D лежат на одной прямой. Он состоит из суммы трех углов: $\angle AOB$, $\angle BOC$ и $\angle COD$.

$\angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 180^\circ$

Подставим известные значения:

$50^\circ + 70^\circ + \angle COD = 180^\circ$

$120^\circ + \angle COD = 180^\circ$

$\angle COD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь, зная все основные углы вокруг точки O, мы можем найти искомые углы.

AOC

Угол $\angle AOC$ является суммой углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$.

$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $\angle AOC = 120^\circ$.

BOD

Угол $\angle BOD$ является суммой углов $\angle BOC$ и $\angle COD$.

$\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 70^\circ + 60^\circ = 130^\circ$.

Ответ: $\angle BOD = 130^\circ$.

COE

Угол $\angle COE$ является суммой углов $\angle COD$ и $\angle DOE$.

$\angle COE = \angle COD + \angle DOE = 60^\circ + 50^\circ = 110^\circ$.

В качестве проверки можно использовать тот факт, что угол $\angle BOE$ является развернутым ($180^\circ$), так как точки B, O, E лежат на одной прямой. Углы $\angle BOC$ и $\angle COE$ — смежные. Отсюда $\angle COE = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Результаты совпадают.

Ответ: $\angle COE = 110^\circ$.

COD

Этот угол уже был найден в предварительных вычислениях при рассмотрении развернутого угла $\angle AOD$.

$\angle COD = 60^\circ$.

Ответ: $\angle COD = 60^\circ$.