Номер 1.74, страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.74. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла – тоже прямые.

Пусть две прямые пересекаются и образуют четыре угла. Обозначим их последовательно $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$. В этом случае углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными, так же как и углы $\angle 2$ и $\angle 4$. Пары соседних углов (например, $\angle 1$ и $\angle 2$) являются смежными.

По условию задачи, один из углов — прямой, то есть его мера равна $90^\circ$. Пусть $\angle 1 = 90^\circ$.

Рассмотрим угол $\angle 2$, который является смежным с углом $\angle 1$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$, поэтому $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Отсюда мы можем найти величину угла $\angle 2$:$\angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Таким образом, угол $\angle 2$ также является прямым.

Рассмотрим угол $\angle 3$, который является вертикальным к углу $\angle 1$. По свойству вертикальных углов, они равны. Следовательно, $\angle 3 = \angle 1 = 90^\circ$.Таким образом, угол $\angle 3$ также является прямым.

Рассмотрим угол $\angle 4$, который является вертикальным к углу $\angle 2$. Так как мы уже установили, что $\angle 2 = 90^\circ$, то и $\angle 4 = \angle 2 = 90^\circ$.Таким образом, угол $\angle 4$ также является прямым.

В результате мы доказали, что если один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, является прямым, то и все остальные три угла также являются прямыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если один из углов при пересечении двух прямых равен $90^\circ$, то смежный с ним угол также равен $90^\circ$ (поскольку их сумма составляет $180^\circ$, то есть $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$). Вертикальный исходному угол равен ему по свойству вертикальных углов, то есть тоже $90^\circ$. Четвертый угол, будучи вертикальным второму (смежному), также равен $90^\circ$. Следовательно, все четыре угла являются прямыми.