Номер 1.78, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.78. Докажите, что если три из четырех углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны между собой, то прямые перпендикулярны.

Пусть даны две пересекающиеся прямые, которые образуют четыре угла. Обозначим эти углы как $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$, где $\angle 1$ и $\angle 3$ — одна пара вертикальных углов, а $\angle 2$ и $\angle 4$ — другая. Смежными являются пары углов ($\angle 1$, $\angle 2$), ($\angle 2$, $\angle 3$), ($\angle 3$, $\angle 4$) и ($\angle 4$, $\angle 1$).

Известно, что:

• Вертикальные углы равны: $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.
• Сумма смежных углов равна $180°$. Например, $\angle 1 + \angle 2 = 180°$.

По условию задачи, три из четырех углов равны между собой. Возьмем любую тройку углов, например, $\angle 1, \angle 2, \angle 3$. Пусть они равны: $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$.

Так как углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными, их сумма должна быть равна $180°$:

$\angle 1 + \angle 2 = 180°$

По нашему предположению, $\angle 1 = \angle 2$. Подставим это в уравнение:

$\angle 1 + \angle 1 = 180°$

$2 \cdot \angle 1 = 180°$

Разделив обе части на 2, получим:

$\angle 1 = 90°$

Поскольку $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$, то $\angle 2 = 90°$ и $\angle 3 = 90°$.

Четвертый угол, $\angle 4$, является вертикальным углу $\angle 2$. Значит, $\angle 4 = \angle 2 = 90°$.

Таким образом, все четыре угла, образовавшиеся при пересечении прямых, равны $90°$.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом ($90°$), по определению являются перпендикулярными.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Если три из четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, равны, то среди этой тройки обязательно найдутся два смежных угла. Поскольку смежные углы в сумме дают $180°$ и при этом они равны, то каждый из них равен $180° / 2 = 90°$. Это означает, что все четыре угла равны $90°$, а следовательно, прямые перпендикулярны.