Номер 1.54, страница 24 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.54. Дан треугольник $ABC$. Существует ли другой, равный ему треугольник $ABD$?

Да, такой треугольник существует.

Для того чтобы треугольник $ABD$ был равен треугольнику $ABC$, их соответствующие стороны должны быть равны. Равенство треугольников $\triangle ABD = \triangle ABC$ при соответствии вершин $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow B$ и $C \leftrightarrow D$ будет выполняться, если будут равны их соответствующие стороны. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), для этого необходимо и достаточно выполнение следующих условий: сторона $AB$ — общая, $AD = AC$ и $BD = BC$.

Мы можем построить точку $D$, удовлетворяющую этим условиям. Условие $AD = AC$ означает, что точка $D$ должна лежать на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $AC$. Условие $BD = BC$ означает, что точка $D$ должна лежать на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $BC$.

Таким образом, искомая точка $D$ является точкой пересечения этих двух окружностей. Мы знаем, что точка $C$ уже является одной из точек их пересечения. Поскольку по условию $A$, $B$ и $C$ являются вершинами треугольника, они не лежат на одной прямой. Из неравенства треугольника для $\triangle ABC$ следует, что $AC + BC > AB$. Это условие гарантирует, что данные окружности пересекаются ровно в двух различных точках. Одна из них — это точка $C$. Обозначим вторую точку пересечения как $D$.

Геометрически, точка $D$ симметрична точке $C$ относительно прямой $AB$. Так как точка $C$ не лежит на прямой $AB$ (иначе $ABC$ не был бы треугольником), ее отражение $D$ не совпадает с ней. Следовательно, треугольник $ABD$ — это другой, отличный от $ABC$, треугольник. При этом, по построению, у треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ сторона $AB$ общая, а две другие стороны соответственно равны: $AD = AC$ и $BD = BC$. Значит, по третьему признаку равенства треугольников, $\triangle ABD = \triangle ABC$.

Ответ: Да, существует.