Номер 1.91, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.91. Даны три луча $a, b, c$ с общим началом. Известно, что $∠(ab) = ∠(ac) = ∠(bc) = 120^\circ$.

1) Проходит ли какой-нибудь из этих лучей между сторонами угла, образованного двумя другими лучами?

2) Может ли прямая, не проходящая через начало данных лучей, пересекать все три данных луча?

Обозначим общее начало лучей как точку $O$. По условию, углы между парами лучей равны: $\angle(ab) = \angle(ac) = \angle(bc) = 120^\circ$.

Сумма этих трех углов составляет $120^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 360^\circ$. Для трех некомпланарных лучей (образующих трехгранный угол) сумма плоских углов при вершине всегда строго меньше $360^\circ$. Поскольку в данном случае сумма равна $360^\circ$, это означает, что все три луча $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости. Они делят эту плоскость на три равных угла по $120^\circ$.

1)

Луч проходит между сторонами угла, образованного двумя другими лучами, если угол между этими двумя лучами равен сумме углов, которые внутренний луч образует с каждым из них.

Проверим, проходит ли луч $c$ между лучами $a$ и $b$. Для этого должно выполняться равенство: $\angle(ab) = \angle(ac) + \angle(cb)$. Подставив значения, получаем: $120^\circ = 120^\circ + 120^\circ$, или $120^\circ = 240^\circ$. Это неверно.

Аналогичные проверки для луча $b$ (между $a$ и $c$) и луча $a$ (между $b$ и $c$) также приводят к неверному равенству $120^\circ = 240^\circ$. Таким образом, ни один из лучей не проходит между сторонами угла, образованного двумя другими.

Ответ: нет.

2)

Как было установлено, все три луча лежат в одной плоскости. Следовательно, прямая, которая пересекает все три луча, также должна лежать в этой плоскости (поскольку лучи не лежат на одной прямой).

Предположим, что такая прямая $L$ существует. Она не проходит через общее начало лучей $O$. Пусть $A$, $B$ и $C$ — точки пересечения прямой $L$ с лучами $a$, $b$ и $c$ соответственно.

Так как точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, одна из них находится между двумя другими. Пусть, для определенности, точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Луч $OB$ (то есть луч $b$) выходит из вершины $O$ и пересекает противоположную сторону $AC$ в точке $B$. Это означает, что луч $b$ проходит внутри угла $\angle AOC$, образованного лучами $a$ и $c$.

Но если луч $b$ проходит между лучами $a$ и $c$, то должно выполняться равенство $\angle(ac) = \angle(ab) + \angle(bc)$. Как мы выяснили в пункте 1), это равенство неверно: $120^\circ \neq 120^\circ + 120^\circ$.

Мы пришли к противоречию. Аналогичное противоречие возникает при любом другом расположении точек $A$, $B$, $C$ на прямой. Следовательно, наше предположение о существовании такой прямой неверно.

Ответ: нет.