Номер 1.86, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.86. Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон данного угла, равного:

1) $50^{\circ}$;

2) $90^{\circ}$;

3) $150^{\circ}$.

1)

Пусть дан угол, который мы обозначим как $\angle AOB$, равный $50^{\circ}$. Проведем его биссектрису $OC$. По определению, биссектриса делит угол на две равные части:

$\angle AOC = \angle COB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}$

Далее, продолжим одну из сторон угла, например, сторону $OA$, за вершину $O$. Получим луч $OD$, который является продолжением луча $OA$. Угол $\angle AOD$ является развернутым, так как лучи $OA$ и $OD$ лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Таким образом, $\angle AOD = 180^{\circ}$.

Нам необходимо найти угол между биссектрисой $OC$ и продолжением стороны $OD$. Этот угол — $\angle COD$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle COD$ имеют общую сторону $OC$, а две другие их стороны, $OA$ и $OD$, являются продолжениями друг друга. Следовательно, эти углы являются смежными, и их сумма равна $180^{\circ}$:

$\angle AOC + \angle COD = 180^{\circ}$

Выразим отсюда искомый угол $\angle COD$:

$\angle COD = 180^{\circ} - \angle AOC$

Подставив значение $\angle AOC$, получим:

$\angle COD = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ}$

Ответ: $155^{\circ}$.

2)

Пусть данный угол $\angle AOB = 90^{\circ}$. Его биссектриса $OC$ делит его на два равных угла:

$\angle AOC = \angle COB = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$

Продолжение стороны $OA$ (луч $OD$) образует с ней развернутый угол $\angle AOD = 180^{\circ}$.

Искомый угол $\angle COD$ (угол между биссектрисой $OC$ и продолжением стороны $OD$) является смежным с углом $\angle AOC$. Их сумма равна $180^{\circ}$.

$\angle COD = 180^{\circ} - \angle AOC$

Подставим значение $\angle AOC$:

$\angle COD = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$

Ответ: $135^{\circ}$.

3)

Пусть данный угол $\angle AOB = 150^{\circ}$. Его биссектриса $OC$ делит его на два равных угла:

$\angle AOC = \angle COB = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$

Продолжение стороны $OA$ (луч $OD$) образует с ней развернутый угол $\angle AOD = 180^{\circ}$.

Искомый угол $\angle COD$ (угол между биссектрисой $OC$ и продолжением стороны $OD$) является смежным с углом $\angle AOC$. Их сумма равна $180^{\circ}$.

$\angle COD = 180^{\circ} - \angle AOC$

Подставим значение $\angle AOC$:

$\angle COD = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$

Ответ: $105^{\circ}$.