Номер 1.89, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.89. Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует с его сторонами равные острые углы, то он является биссектрисой угла.

Пусть дан угол $ \angle AOB $ с вершиной в точке $ O $ и сторонами-лучами $ OA $ и $ OB $. Пусть из вершины $ O $ исходит луч $ OC $, который, по условию задачи, образует со сторонами $ OA $ и $ OB $ равные острые углы. Это означает, что $ \angle AOC = \angle BOC $ и оба этих угла меньше $ 90^\circ $. Нам нужно доказать, что луч $ OC $ является биссектрисой угла $ \angle AOB $.

По определению, биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол на две равные части. Условие о равенстве углов ($ \angle AOC = \angle BOC $) нам дано в условии. Следовательно, для завершения доказательства необходимо строго показать, что луч $ OC $ проходит именно между сторонами $ OA $ и $ OB $.

Докажем это методом от противного. Предположим, что луч $ OC $ не проходит между сторонами $ OA $ и $ OB $, то есть лежит вне угла $ \angle AOB $. В этом случае возможны две ситуации.

Ситуация 1: Одна из сторон исходного угла, например $ OA $, окажется расположенной между лучом $ OC $ и другой стороной, $ OB $. Согласно аксиоме об измерении углов, если луч $ OA $ лежит внутри угла $ \angle COB $, то величина этого угла равна сумме величин углов, на которые он разделяется лучом $ OA $: $ \angle COB = \angle COA + \angle AOB $. По условию задачи $ \angle COA = \angle COB $. Подставив это в предыдущее равенство, получаем: $ \angle COA = \angle COA + \angle AOB $. Вычитая из обеих частей равенства величину $ \angle COA $, приходим к выводу, что $ \angle AOB = 0^\circ $. Это означает, что лучи $ OA $ и $ OB $ совпадают, что противоречит условию, так как они образуют угол (то есть являются различными лучами).

Ситуация 2: Лучи $ OA $, $ OB $ и $ OC $ таковы, что сумма углов между ними вокруг точки $ O $ составляет $ 360^\circ $. В этой конфигурации $ \angle AOB $, $ \angle BOC $ и $ \angle COA $ являются тремя углами, полностью окружающими точку $ O $. Их сумма равна $ 360^\circ $: $ \angle AOB + \angle BOC + \angle COA = 360^\circ $. Пусть, по условию, $ \angle AOC = \angle BOC = \alpha $, где $ \alpha $ — острый угол. Тогда: $ \angle AOB + \alpha + \alpha = 360^\circ $, что означает $ \angle AOB = 360^\circ - 2\alpha $. Поскольку $ \alpha < 90^\circ $, то $ 2\alpha < 180^\circ $, и, следовательно, $ \angle AOB > 180^\circ $ (то есть является развернутым или рефлексным). Биссектриса такого угла $ \angle AOB $ должна делить его на два равных угла, каждый из которых был бы равен $ \frac{\angle AOB}{2} = \frac{360^\circ - 2\alpha}{2} = 180^\circ - \alpha $. Однако по условию луч $ OC $ образует со сторонами углы величиной $ \alpha $. Равенство $ \alpha = 180^\circ - \alpha $ выполняется только при $ 2\alpha = 180^\circ $, то есть $ \alpha = 90^\circ $. Но это прямо противоречит условию задачи, что углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $ являются острыми.

Таким образом, наше предположение о том, что луч $ OC $ лежит вне угла $ \angle AOB $, в любом возможном случае приводит к противоречию. Следовательно, это предположение неверно, и луч $ OC $ должен проходить между сторонами $ OA $ и $ OB $.

Поскольку луч $ OC $ исходит из вершины угла $ \angle AOB $, проходит между его сторонами и делит его на два равных угла ($ \angle AOC = \angle BOC $), он по определению является биссектрисой этого угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на методе от противного. Предположение, что луч лежит вне угла, рассматривается в двух возможных конфигурациях. Каждая из них приводит к противоречию с условиями задачи: либо исходный угол равен $0^\circ$, либо углы, которые образует луч со сторонами, должны быть прямыми, а не острыми. Следовательно, луч обязан лежать внутри угла. А так как он по условию делит угол на две равные части, он является его биссектрисой по определению.