Номер 2.34, страница 40 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.34. Через середину C отрезка AB проведена прямая, перпендикулярная отрезку AB. Докажите, что каждая точка этой прямой одинаково удалена от точек A и B.

Пусть дан отрезок $AB$, и точка $C$ является его серединой. Согласно определению середины отрезка, $AC = CB$. Через точку $C$ проведена прямая $m$, перпендикулярная отрезку $AB$. Это означает, что прямая $m$ образует с отрезком $AB$ прямые углы.

Необходимо доказать, что любая точка, лежащая на прямой $m$, находится на одинаковом расстоянии от точек $A$ и $B$.

Выберем на прямой $m$ произвольную точку $M$. Расстояние от точки $M$ до точки $A$ равно длине отрезка $MA$, а расстояние от точки $M$ до точки $B$ — длине отрезка $MB$. Таким образом, нам нужно доказать равенство $MA = MB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

• Сторона $AC$ равна стороне $CB$ ($AC = CB$), так как точка $C$ — середина отрезка $AB$ по условию задачи.
• Сторона $MC$ является общей для обоих треугольников.
• Угол $\angle MCA$ и угол $\angle MCB$ являются прямыми, то есть $\angle MCA = \angle MCB = 90^\circ$, поскольку прямая $m$ перпендикулярна $AB$ по условию.

Таким образом, треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Поскольку треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ равны, их соответствующие элементы также равны. В частности, сторона $MA$ треугольника $\triangle AMC$ (являющаяся гипотенузой) равна соответствующей стороне $MB$ треугольника $\triangle BMC$ (также гипотенузе). Следовательно, $MA = MB$.

Так как точка $M$ была выбрана на прямой $m$ произвольно, данное заключение справедливо для любой точки этой прямой. Это доказывает, что каждая точка прямой $m$ одинаково удалена от точек $A$ и $B$.

Ответ: Утверждение доказано. Каждая точка прямой, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину, равноудалена от концов этого отрезка.