Номер 2.41, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.41. Докажите, что в равностороннем треугольнике:

1) все три угла равны;

2) все три медианы равны.

1) все три угла равны

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. По определению равностороннего треугольника, все его стороны равны: $AB = BC = CA$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB = BC$, то по определению он является равнобедренным с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, то есть $\angle A = \angle C$.

2. Теперь рассмотрим тот же треугольник $ABC$. Так как $BC = CA$, то он также является равнобедренным с основанием $AB$. Следовательно, углы при основании $AB$ равны, то есть $\angle B = \angle A$.

3. Из полученных равенств $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle A$ следует, что все три угла треугольника равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$.

Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то каждый угол в равностороннем треугольнике равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

2) все три медианы равны

Пусть в равностороннем треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$, $BN$ и $CK$ к сторонам $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

1. По определению медианы, точки $M, N, K$ являются серединами соответствующих сторон: $BM = MC = \frac{1}{2}BC$, $AN = NC = \frac{1}{2}AC$, $AK = KB = \frac{1}{2}AB$.

2. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то $AB = BC = AC$. Следовательно, и половины этих сторон равны между собой: $BM = NC = AK$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle BCN$. У них:

• $AB = BC$ (как стороны равностороннего треугольника).
• $BM = CN$ (как половины равных сторон).
• $\angle B = \angle C$ (как углы равностороннего треугольника, что доказано в пункте 1).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABM = \triangle BCN$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AM = BN$.

4. Аналогично рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle CAK$. У них:

• $BC = CA$ (как стороны равностороннего треугольника).
• $CN = AK$ (как половины равных сторон).
• $\angle C = \angle A$ (как углы равностороннего треугольника).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle BCN = \triangle CAK$. Из этого следует, что $BN = CK$.

5. Из полученных равенств $AM = BN$ и $BN = CK$ следует, что все три медианы равны: $AM = BN = CK$.

Ответ: Утверждение доказано. Все медианы равностороннего треугольника равны.