Номер 2.37, страница 40 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.37. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC на медиане AD отмечена точка E. Докажите, что:

1) $ΔABE = ΔAEC$;

2) $ΔBED = ΔCED$.

1) $\triangle ABE = \triangle AEC$

Рассмотрим треугольники $ABE$ и $AEC$.

• $AB = AC$, так как по условию $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$.
• $AE$ — общая сторона для обоих треугольников.
• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. Так как $AD$ — медиана к основанию $BC$, то она же и биссектриса угла $\angle BAC$. Отсюда $\angle BAD = \angle CAD$. Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $AD$, то $\angle BAE = \angle CAE$.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABE = \triangle AEC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $\triangle BED = \triangle CED$

Рассмотрим треугольники $BED$ и $CED$.

• $BD = CD$, так как по условию $AD$ — медиана, а значит, она делит сторону $BC$ пополам.
• $ED$ — общая сторона для обоих треугольников.
• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Так как $AD$ — медиана к основанию $BC$, то она же и высота, то есть $AD \perp BC$. Отсюда $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$. Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $AD$, то $\angle BDE = \angle CDE = 90^\circ$.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle BED = \triangle CED$.

Ответ: Что и требовалось доказать.