Номер 2.42, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.42. $AN$ является медианой равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$. Найдите $AN$, если периметр треугольника $ABC$ равен 32 см, а периметр треугольника $ABN$ равен 24 см.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = AC$.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин всех его сторон:$P_{ABC} = AB + AC + BC$.Так как $AB = AC$ и $P_{ABC} = 32$ см, мы можем записать:$2 \cdot AB + BC = 32$.

$AN$ — это медиана, проведенная к стороне $BC$. По определению медианы, она делит сторону, к которой проведена, на два равных отрезка. Следовательно, точка $N$ является серединой стороны $BC$, и $BN = NC$.Таким образом, длина стороны $BC$ равна удвоенной длине отрезка $BN$: $BC = 2 \cdot BN$.

Подставим это соотношение в формулу периметра треугольника $ABC$:$2 \cdot AB + 2 \cdot BN = 32$.Вынесем общий множитель 2 за скобки:$2 \cdot (AB + BN) = 32$.Разделим обе части уравнения на 2:$AB + BN = 16$.

Теперь рассмотрим периметр треугольника $ABN$ ($P_{ABN}$). Он равен сумме длин его сторон:$P_{ABN} = AB + BN + AN$.По условию, $P_{ABN} = 24$ см.$AB + BN + AN = 24$.

Из предыдущих вычислений мы знаем, что сумма $AB + BN$ равна 16. Подставим это значение в уравнение для периметра треугольника $ABN$:$16 + AN = 24$.

Теперь мы можем найти длину медианы $AN$:$AN = 24 - 16$.$AN = 8$ см.

Ответ: 8 см.