Номер 2.48, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.48. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. На сторонах AB и CB отмечены соответственно точки E и F так, что $AE = CF$. Докажите, что:

1) $\triangle BDE = \triangle BDF$;

2) $\triangle ADE = \triangle CDF$.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = CB$, а углы при основании также равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

$BD$ — медиана, проведенная к основанию $AC$. По свойству медианы в равнобедренном треугольнике, проведенной к основанию, она также является биссектрисой и высотой.

Из этого следует:

1. $D$ является серединой отрезка $AC$, поэтому $AD = DC$.

2. $BD$ делит угол $\angle ABC$ пополам, поэтому $\angle ABD = \angle CBD$.

Также по условию на сторонах $AB$ и $CB$ выбраны точки $E$ и $F$ таким образом, что $AE = CF$.

1) Докажите, что $ \Delta BDE = \Delta BDF $

Рассмотрим треугольники $\Delta BDE$ и $\Delta BDF$. Докажем их равенство по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

• Сторона $BD$ — общая для обоих треугольников.

• Угол $\angle EBD$ равен углу $\angle FBD$ (то есть $\angle ABD = \angle CBD$), так как $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

• Сравним стороны $BE$ и $BF$. Сторона $BE$ является частью стороны $AB$, а $BF$ — частью $CB$. Мы можем записать:

$BE = AB - AE$

$BF = CB - CF$

Так как по условию $AB = CB$ и $AE = CF$, то правые части этих выражений равны. Следовательно, равны и левые части: $BE = BF$.

Мы установили, что в треугольниках $\Delta BDE$ и $\Delta BDF$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($BE = BF$, $\angle EBD = \angle FBD$, $BD$ — общая).

Следовательно, $\Delta BDE = \Delta BDF$ по первому признаку равенства треугольников (СУС). Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\Delta BDE = \Delta BDF$ доказано.

2) Докажите, что $ \Delta ADE = \Delta CDF $

Рассмотрим треугольники $\Delta ADE$ и $\Delta CDF$. Докажем их равенство также по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

• Сторона $AD = CD$, так как $D$ — середина основания $AC$ (поскольку $BD$ — медиана).

• Сторона $AE = CF$ по условию задачи.

• Угол $\angle DAE$ равен углу $\angle DCF$ (то есть $\angle BAC = \angle BCA$), так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$.

Мы установили, что в треугольниках $\Delta ADE$ и $\Delta CDF$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AE = CF$, $\angle DAE = \angle DCF$, $AD = CD$).

Следовательно, $\Delta ADE = \Delta CDF$ по первому признаку равенства треугольников (СУС). Что и требовалось доказать.

Альтернативный способ доказательства (используя результат пункта 1):

Из доказанного в пункте 1 равенства $\Delta BDE = \Delta BDF$ следует, что соответствующие стороны этих треугольников равны, то есть $DE = DF$. Теперь рассмотрим $\Delta ADE$ и $\Delta CDF$ и применим третий признак равенства треугольников (по трём сторонам):

• $AD = CD$ (так как $BD$ - медиана).

• $AE = CF$ (по условию).

• $DE = DF$ (из равенства $\Delta BDE = \Delta BDF$).

Так как все три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то $\Delta ADE = \Delta CDF$ по третьему признаку (ССС).

Ответ: Равенство треугольников $\Delta ADE = \Delta CDF$ доказано.