Номер 2.51, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.51* Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

Сформулируем утверждение, которое требуется доказать.

Дано:

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. В них проведены медианы $AM$ и $A_1M_1$ соответственно.

Известно, что:

1. Медианы равны: $AM = A_1M_1$.

2. Углы, на которые медиана $AM$ делит угол $\angle BAC$, соответственно равны углам, на которые медиана $A_1M_1$ делит угол $\angle B_1A_1C_1$:

- $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$

- $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$

Доказать:

$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Для доказательства используем метод дополнительного построения. В треугольнике $\triangle ABC$ продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$, так что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с вершиной $B$.

2. Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению, точка $M$ является серединой отрезка $AD$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Поскольку диагонали четырехугольника $ABDC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

3. Из свойств параллелограмма $ABDC$ следует, что его противолежащие стороны параллельны и равны. В частности, $AC \parallel BD$ и $AC = BD$.

4. Так как прямые $AC$ и $BD$ параллельны, то при пересечении их секущей $AD$ внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle CAD = \angle BDA$.

5. Проведем аналогичное построение для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Продлим медиану $A_1M_1$ за точку $M_1$ до точки $D_1$ так, что $A_1M_1 = M_1D_1$. Соединим $D_1$ с $B_1$. Четырехугольник $A_1B_1D_1C_1$ также будет параллелограммом. Из этого следует, что $A_1C_1 = B_1D_1$ и $\angle C_1A_1D_1 = \angle B_1D_1A_1$.

6. Теперь сравним полученные вспомогательные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. Для удобства введем обозначения: пусть $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1 = \alpha$ и $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1 = \beta$.

- Сторона $AD = AM + MD = 2AM$. Сторона $A_1D_1 = A_1M_1 + M_1D_1 = 2A_1M_1$. Так как по условию $AM = A_1M_1$, то и $AD = A_1D_1$.

- Угол $\angle BAD$ совпадает с углом $\angle BAM$, так как точки $A, M, D$ лежат на одной прямой. Таким образом, $\angle BAD = \alpha$. Аналогично, $\angle B_1A_1D_1 = \alpha$. Следовательно, $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$.

- Из пункта 4 мы знаем, что $\angle BDA = \angle CAD$. Угол $\angle CAD$ совпадает с $\angle CAM$, поэтому $\angle BDA = \beta$. Аналогично, $\angle B_1D_1A_1 = \beta$. Следовательно, $\angle BDA = \angle B_1D_1A_1$.

7. Мы установили, что в треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны: $AD = A_1D_1$, $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$ и $\angle BDA = \angle B_1D_1A_1$. Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам, ASA), $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$.

8. Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих сторон: $AB = A_1B_1$ и $BD = B_1D_1$.

9. Из свойств параллелограммов (пункты 3 и 5) мы знаем, что $AC = BD$ и $A_1C_1 = B_1D_1$. Сопоставляя это с результатом $BD = B_1D_1$, получаем, что $AC = A_1C_1$.

10. Теперь вернемся к исходным треугольникам $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы показали, что у них:

- Сторона $AB = A_1B_1$ (из п. 8).

- Сторона $AC = A_1C_1$ (из п. 9).

- Угол между этими сторонами $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM = \alpha + \beta$. Аналогично, $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1A_1M_1 + \angle C_1A_1M_1 = \alpha + \beta$. Значит, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

11. Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Утверждение доказано.

Ответ: Равенство треугольников доказано с помощью дополнительного построения (удвоения медианы), которое сводит задачу к доказательству равенства вспомогательных треугольников по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства вспомогательных треугольников следует равенство соответствующих сторон исходных треугольников, что позволяет доказать их равенство по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).