Номер 2.44, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.44. $AB$ является общим основанием равнобедренных треугольников $ABC$ и $ABD$, а вершины $C$ и $D$ находятся по разные стороны от прямой $AB$. Покажите, что отрезки $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Дано:

Треугольник $ABC$ – равнобедренный с основанием $AB$, из чего следует $AC = BC$.

Треугольник $ABD$ – равнобедренный с основанием $AB$, из чего следует $AD = BD$.

Вершины $C$ и $D$ находятся по разные стороны от прямой $AB$.

Доказать:

Отрезки $AB$ и $CD$ перпендикулярны, то есть $AB \perp CD$.

Доказательство:

1. Рассмотрим точку $C$. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что боковые стороны равны: $AC = BC$. Таким образом, точка $C$ равноудалена от концов отрезка $AB$.

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, точка $C$ принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $AB$.

3. Теперь рассмотрим точку $D$. По условию, треугольник $ABD$ также является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что боковые стороны равны: $AD = BD$. Таким образом, точка $D$ также равноудалена от концов отрезка $AB$.

4. Следовательно, точка $D$ также принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $AB$.

5. Поскольку обе точки, $C$ и $D$, лежат на одной и той же прямой — серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, — то прямая $CD$ и есть этот серединный перпендикуляр (согласно аксиоме, через две точки можно провести только одну прямую).

6. По определению, серединный перпендикуляр к отрезку перпендикулярен этому отрезку. Значит, прямая $CD$ перпендикулярна прямой $AB$, и, следовательно, отрезки $CD$ и $AB$ перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку точки $C$ и $D$ равноудалены от концов отрезка $AB$, прямая, проходящая через них, является серединным перпендикуляром к $AB$. Следовательно, отрезки $AB$ и $CD$ перпендикулярны.