Номер 2.39, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.39. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Докажите, что $\triangle ACO = \triangle BDO$, если $AO = BO$ и $\angle CAO = \angle DBO$.

Рассмотрим треугольники $ \Delta ACO $ и $ \Delta BDO $. Для доказательства их равенства необходимо найти три равных элемента, соответствующих одному из признаков равенства треугольников.

Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Согласно этому признаку, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Сравним элементы данных нам треугольников $ \Delta ACO $ и $ \Delta BDO $:

1. Из условия задачи известно, что $ AO = BO $. Это равные стороны в наших треугольниках.

2. Также по условию $ \angle CAO = \angle DBO $. Это первая пара равных углов, прилежащих к сторонам $ AO $ и $ BO $ соответственно.

3. Углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ образованы при пересечении отрезков $ AB $ и $ CD $ в точке $ O $. Такие углы являются вертикальными, а вертикальные углы всегда равны. Следовательно, $ \angle AOC = \angle BOD $. Это вторая пара равных углов, также прилежащих к сторонам $ AO $ и $ BO $.

Таким образом, мы имеем все условия для применения второго признака равенства треугольников: сторона $ AO $ и прилежащие к ней углы $ \angle CAO $ и $ \angle AOC $ треугольника $ \Delta ACO $ соответственно равны стороне $ BO $ и прилежащим к ней углам $ \angle DBO $ и $ \angle BOD $ треугольника $ \Delta BDO $.

Следовательно, $ \Delta ACO = \Delta BDO $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \Delta ACO = \Delta BDO $ доказано на основании второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как по условию $ AO = BO $ и $ \angle CAO = \angle DBO $, а углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ равны как вертикальные.