Номер 2.43, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.43. Треугольники $PRQ$ и $PKQ$ расположены так, что имеют общую сторону $PQ$, а вершины $R$ и $K$ находятся по разные стороны относительно прямой $PQ$. Докажите, что луч $PQ$ является биссектрисой угла $KPR$, если $PR = PK$, $QR = QK$ (рис. 2.29).

Для доказательства того, что луч $PQ$ является биссектрисой угла $KPR$, необходимо показать, что он делит этот угол на два равных угла, то есть $ \angle RPQ = \angle KPQ $.

Рассмотрим два треугольника: $ \triangle PRQ $ и $ \triangle PKQ $.

Проанализируем их стороны:

• Сторона $PR$ равна стороне $PK$ по условию ($PR = PK$).
• Сторона $QR$ равна стороне $QK$ по условию ($QR = QK$).
• Сторона $PQ$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $ \triangle PRQ $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle PKQ $. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, SSS), эти треугольники равны:

$ \triangle PRQ = \triangle PKQ $

В равных треугольниках соответствующие углы также равны. Нас интересуют углы $ \angle RPQ $ и $ \angle KPQ $. Угол $ \angle RPQ $ в треугольнике $ \triangle PRQ $ лежит напротив стороны $QR$. Угол $ \angle KPQ $ в треугольнике $ \triangle PKQ $ лежит напротив стороны $QK$.

Поскольку стороны $QR$ и $QK$ равны, то и противолежащие им углы в равных треугольниках должны быть равны:

$ \angle RPQ = \angle KPQ $

Так как луч $PQ$ делит угол $KPR$ на два равных угла, по определению он является биссектрисой этого угла.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $PRQ$ и $PKQ$ равны по трем сторонам ($PR = PK$, $QR = QK$, $PQ$ — общая), следовательно, равны и их соответствующие углы $ \angle RPQ $ и $ \angle KPQ $, а значит, луч $PQ$ является биссектрисой угла $KPR$.