Номер 3.64, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.64. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и внутренними углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, лежащими против этих сторон соответственно.

Внешний угол треугольника при любой вершине является смежным с внутренним углом при той же вершине. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, величина внешнего угла, например, при вершине с углом $\alpha$, равна $180^\circ - \alpha$.

По условию, два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Пусть это будут внешние углы при вершинах с внутренними углами $\alpha$ и $\beta$. Тогда мы можем записать равенство:$180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta$

Вычитая $180^\circ$ из обеих частей уравнения, получаем:$-\alpha = -\beta$, что эквивалентно $\alpha = \beta$.

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие против равных углов, также равны. В нашем случае это стороны $a$ и $b$. Следовательно, $a = b$.

Итак, мы имеем дело с равнобедренным треугольником. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:$P = a + b + c$.Поскольку $a=b$, формулу периметра можно записать как $P = 2a + c$.

По условию, периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Этой стороной может быть либо основание ($c$), либо боковая сторона ($a$). Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Известная сторона — это основание треугольника.

Пусть основание $c = 16$ см. Тогда две другие стороны, боковые, равны между собой. Подставим известные значения в формулу периметра:$P = 2a + c$$74 = 2a + 16$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти длину боковой стороны $a$:$2a = 74 - 16$$2a = 58$$a = 29$

Таким образом, две другие стороны треугольника равны 29 см и 29 см.Проверим, выполняется ли для такого треугольника (со сторонами 16, 29, 29) неравенство треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей.$29 + 29 > 16 \implies 58 > 16$ (верно)$29 + 16 > 29 \implies 45 > 29$ (верно)Этот случай возможен.

Случай 2: Известная сторона — это боковая сторона треугольника.

Пусть боковая сторона $a = 16$ см. Так как треугольник равнобедренный, то вторая боковая сторона также равна 16 см. Найдем длину основания $c$ из формулы периметра:$P = 2a + c$$74 = 2 \cdot 16 + c$$74 = 32 + c$

Теперь найдем $c$:$c = 74 - 32$$c = 42$

В этом случае стороны треугольника равны 16 см, 16 см и 42 см.Проверим неравенство треугольника:$16 + 16 > 42$$32 > 42$ (неверно)

Треугольник с такими сторонами не может существовать. Следовательно, этот случай невозможен.

Единственным решением является первый случай. Две неизвестные стороны треугольника равны.

Ответ: две другие стороны треугольника равны 29 см и 29 см.