Номер 3.62, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.62. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, разность двух сторон равна 6 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

Пусть боковые стороны равнобедренного треугольника равны $a$, а основание равно $b$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + a + b = 2a + b$. По условию, $P = 36$ см, следовательно, мы имеем уравнение:

$2a + b = 36$

Далее, в условии сказано, что один из внешних углов треугольника является острым. Внешний угол при некоторой вершине треугольника и внутренний угол при той же вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Если внешний угол острый (меньше $90^\circ$), то соответствующий ему внутренний угол должен быть тупым (больше $90^\circ$).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы они были тупыми, их сумма превысила бы $180^\circ$, что невозможно для углов одного треугольника. Следовательно, тупым может быть только угол при вершине, который лежит напротив основания $b$. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Таким образом, основание $b$ должно быть самой длинной стороной треугольника, то есть $b > a$.

По условию, разность двух сторон равна 6 см. В равнобедренном треугольнике это может быть только разность между боковой стороной и основанием, то есть $|a - b| = 6$. Так как мы установили, что $b > a$, то это равенство можно записать как $b - a = 6$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 2a + b = 36 \\ b - a = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b$: $b = a + 6$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$2a + (a + 6) = 36$

$3a + 6 = 36$

$3a = 30$

$a = 10$ см

Теперь найдем длину основания $b$:

$b = a + 6 = 10 + 6 = 16$ см

Таким образом, стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 16 см.

Проверим выполнение неравенства треугольника: $10 + 10 > 16$, то есть $20 > 16$. Условие выполняется, такой треугольник существует. Условие $b > a$ ($16 > 10$) также выполняется, что гарантирует, что угол при вершине является тупым, а соответствующий ему внешний угол — острым.

Ответ: стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 16 см.