Номер 4.34, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.34. Что представляет собой геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной точки?

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, которые обладают некоторым общим свойством. В данном случае, это свойство заключается в том, что все точки находятся на одном и том же, заданном расстоянии от одной, заданной точки.

Пусть задана точка $O$ и положительное число $R$, которое является расстоянием. Мы ищем все точки $M$, для которых расстояние от $O$ до $M$ строго равно $R$. Математически это условие можно записать как $OM = R$.

Фигура, которую образуют эти точки, зависит от того, рассматриваем мы задачу на плоскости или в пространстве.

1. На плоскости (двумерное пространство)

Если точки рассматриваются на плоскости, то их геометрическим местом является окружность. Заданная точка $O$ будет являться центром этой окружности, а заданное расстояние $R$ — её радиусом. В декартовых координатах, если центр $O$ имеет координаты $(x_0, y_0)$, то уравнение этой окружности будет:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

2. В пространстве (трёхмерное пространство)

Если точки рассматриваются в пространстве, то их геометрическим местом является сфера. Заданная точка $O$ будет центром этой сферы, а заданное расстояние $R$ — её радиусом. В декартовых координатах, если центр $O$ имеет координаты $(x_0, y_0, z_0)$, то уравнение этой сферы будет:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Поскольку в условии задачи не указана размерность пространства, то следует иметь в виду оба случая. Как правило, в курсе планиметрии (геометрии на плоскости) под этим ГМТ понимают окружность.

Ответ: На плоскости — это окружность, в пространстве — это сфера. В обоих случаях данная точка является центром фигуры, а данное расстояние — её радиусом.