Номер 4.32, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.32*. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$. Докажите, что $AC_1 = \frac{1}{2} (AB + AC - BC)$.

Пусть в треугольник $ABC$ вписана окружность. Обозначим точки касания этой окружности со сторонами $AB$, $AC$ и $BC$ как $C_1$, $B_1$ и $A_1$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Для вершин нашего треугольника это означает:

$AC_1 = AB_1$

$BC_1 = BA_1$

$CA_1 = CB_1$

Введем следующие обозначения для длин этих отрезков:

$AC_1 = AB_1 = x$

$BC_1 = BA_1 = y$

$CA_1 = CB_1 = z$

Теперь длины сторон треугольника $ABC$ можно выразить через $x, y, z$. Это дает нам систему из трех уравнений, где $AB$, $AC$, $BC$ - длины сторон:

$ \begin{cases} x + y = AB \\ x + z = AC \\ y + z = BC \end{cases} $

Цель задачи — доказать формулу для $AC_1$, то есть найти выражение для $x$ через стороны треугольника. Для этого решим полученную систему уравнений. Сложим первые два уравнения и вычтем из полученной суммы третье уравнение:

$(x + y) + (x + z) - (y + z) = AB + AC - BC$

Раскроем скобки в левой части и упростим выражение, сократив одинаковые члены с противоположными знаками:

$x + y + x + z - y - z = 2x$

В результате получаем равенство:

$2x = AB + AC - BC$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{AB + AC - BC}{2}$

Вспоминая, что по нашему обозначению $x = AC_1$, мы приходим к заключению, что формула верна:

$AC_1 = \frac{1}{2}(AB + AC - BC)$

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Для доказательства было использовано свойство равенства отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности. Это позволило выразить стороны треугольника через длины отрезков касательных и составить систему уравнений, из которой было выведено искомое соотношение.