Номер 4.31, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.31*. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных $AB$ и $AC$ равны. Здесь $B$ и $C$ – точки касания.

2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.

1)

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и точка $A$, из которой проведены две касательные к окружности. Пусть $B$ и $C$ — точки касания. Требуется доказать, что отрезки касательных $AB$ и $AC$ равны.

Проведем отрезки $AO$, $OB$ и $OC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AO$ — общая.

2. $OB = OC$ как радиусы одной и той же окружности.

3. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, углы $\angle ABO$ и $\angle ACO$ являются прямыми, то есть $\angle ABO = \angle ACO = 90^\circ$.

Таким образом, $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ — прямоугольные треугольники, которые равны по гипотенузе и катету (общая гипотенуза $AO$ и равные катеты $OB$ и $OC$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, следовательно, $AB = AC$.

Ответ: Отрезки касательных $AB$ и $AC$, проведенные из одной точки к окружности, равны, что и требовалось доказать.

2)

Докажем данное утверждение методом от противного.

Предположим, что из одной точки $A$ к окружности с центром в точке $O$ можно провести три различные касательные. Пусть $B$, $C$ и $D$ — три различные точки касания.

Согласно свойству, доказанному в пункте 1, отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой. Для наших трех касательных это означает, что $AB = AC = AD$.

Из равенства $AB = AC = AD$ следует, что точки касания $B$, $C$ и $D$ равноудалены от точки $A$. Следовательно, все три точки лежат на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $R = AB$.

В то же время, по определению, точки касания $B$, $C$ и $D$ также лежат и на исходной окружности с центром в $O$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что две различные окружности (одна с центром в $O$, другая с центром в $A$) имеют три общие точки пересечения ($B$, $C$ и $D$). Однако известно, что две различные окружности могут пересекаться не более чем в двух точках.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании трех касательных из одной точки является неверным.

Ответ: Через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.