Номер 4.36, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.36. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Пусть даны две различные точки, назовем их $A$ и $B$. Нам необходимо найти геометрическое место точек (ГМТ), которые являются центрами всех окружностей, проходящих через эти две точки.

Обозначим центр такой окружности буквой $O$.

Если окружность с центром в точке $O$ проходит через точки $A$ и $B$, то по определению окружности, расстояния от центра до этих точек равны. Эти расстояния являются радиусом $R$ данной окружности.

Следовательно, для любой точки $O$, являющейся центром такой окружности, должно выполняться равенство: $OA = OB = R$

Таким образом, задача сводится к нахождению геометрического места точек $O$, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$.

Известно, что геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку.

Доказательство:

Докажем, что искомым ГМТ является именно серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

1. Прямое утверждение: Возьмем любую точку $O$, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, эта точка равноудалена от концов отрезка, то есть $OA = OB$. Если мы проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$, то она обязательно пройдет и через точку $B$, так как $OB$ также равно $R$. Следовательно, любая точка на серединном перпендикуляре является центром окружности, проходящей через $A$ и $B$.

2. Обратное утверждение: Пусть точка $O$ — центр некоторой окружности, которая проходит через точки $A$ и $B$. Тогда по определению окружности $OA = OB$ как радиусы. Это означает, что точка $O$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Множество всех таких точек образует серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Значит, точка $O$ обязательно лежит на этом серединном перпендикуляре.

Поскольку мы доказали оба утверждения, искомое геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки, полностью совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти две точки.