Номер 4.46, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.46. Постройте прямоугольный треугольник:

1) по гипотенузе и острому углу;

2) по гипотенузе и катету;

3) по катету и прилежащему острому углу;

4) по катету и противолежащему острому углу.

1) по гипотенузе и острому углу

Пусть нам дан отрезок $c$, равный гипотенузе, и острый угол $\alpha$. Необходимо построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, гипотенузой $AB = c$ и острым углом $\angle A = \alpha$.

Анализ: Вершина прямого угла $C$ искомого треугольника должна лежать на окружности, диаметром которой является гипотенуза $AB$. Также вершина $C$ должна лежать на стороне угла $\alpha$, построенного у вершины $A$.

Построение:

1. Построим отрезок $AB$, равный данному отрезку $c$. Этот отрезок будет гипотенузой нашего треугольника.
2. Найдем середину отрезка $AB$, точку $O$. Для этого построим две окружности с центрами в точках $A$ и $B$ и одинаковым радиусом (большим половины длины $AB$). Прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, пересечет $AB$ в его середине $O$.
3. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$. Любая точка на этой окружности (кроме $A$ и $B$) образует с точками $A$ и $B$ прямоугольный треугольник.
4. От луча $AB$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Для этого с центром в вершине данного угла $\alpha$ проведем дугу, пересекающую его стороны. Не меняя раствора циркуля, проведем дугу с центром в точке $A$ так, чтобы она пересекла луч $AB$ (например, в точке $D$). Затем измерим циркулем расстояние между точками пересечения первой дуги со сторонами угла $\alpha$ и отложим это расстояние на второй дуге от точки $D$, получив точку $E$.
5. Проведем луч $AE$. Точка пересечения этого луча с окружностью, построенной в шаге 3, будет третьей вершиной треугольника, точкой $C$.
6. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.

Доказательство: Треугольник $ABC$ – искомый, так как его гипотенуза $AB$ равна $c$ по построению. Угол $\angle CAB$ равен $\alpha$ по построению. Угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$, поскольку он является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AB$ окружности.

Ответ: Треугольник построен.

2) по гипотенузе и катету

Пусть нам дан отрезок $c$, равный гипотенузе, и отрезок $a$, равный одному из катетов. Необходимо построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетом $BC = a$ и гипотенузой $AB = c$.

Анализ: Вершина $B$ находится на расстоянии $a$ от вершины прямого угла $C$. Вершина $A$ находится на расстоянии $c$ от вершины $B$ и лежит на прямой, перпендикулярной катету $BC$ и проходящей через точку $C$.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую и выберем на ней точку $C$.
2. В точке $C$ восстановим перпендикуляр к этой прямой. Для этого построим окружность с центром в $C$ произвольного радиуса, которая пересечет прямую в двух точках. Затем из этих двух точек построим две окружности одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности). Прямая, проходящая через точки пересечения этих двух окружностей, будет перпендикулярна исходной прямой в точке $C$.
3. На исходной прямой от точки $C$ отложим отрезок, равный данному катету $a$. Получим точку $B$.
4. Из точки $B$ как из центра проведем окружность с радиусом, равным длине гипотенузы $c$.
5. Точка пересечения этой окружности с перпендикуляром, построенным в шаге 2, будет третьей вершиной треугольника, точкой $A$. (Задача имеет решение, если $c > a$).
6. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Доказательство: Треугольник $ABC$ – искомый, так как $\angle C=90^\circ$ по построению, катет $BC$ равен $a$ по построению, и гипотенуза $AB$ равна $c$ как радиус окружности, построенной из центра $B$.

Ответ: Треугольник построен.

3) по катету и прилежащему острому углу

Пусть нам дан отрезок $b$, равный катету, и прилежащий к нему острый угол $\alpha$. Необходимо построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетом $AC = b$ и углом $\angle CAB = \alpha$.

Анализ: Треугольник определяется двумя сторонами и углом между ними (в данном случае прямой угол между катетами) или стороной и двумя прилежащими углами. Мы знаем катет $AC$, прилежащий угол $\alpha$ и прямой угол $C$.

Построение:

1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный данному катету $b$.
2. В точке $C$ восстановим перпендикуляр к прямой $AC$. На этом перпендикуляре будет лежать катет $BC$.
3. От луча $AC$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Построим луч $AM$ так, чтобы $\angle CAM = \alpha$.
4. Точка пересечения луча $AM$ (содержащего гипотенузу) с перпендикуляром, построенным в шаге 2 (содержащим второй катет), будет третьей вершиной треугольника, точкой $B$.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ катет $AC$ равен $b$ по построению, угол $\angle CAB$ равен $\alpha$ по построению, и угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$ по построению. Следовательно, треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Треугольник построен.

4) по катету и противолежащему острому углу

Пусть нам дан отрезок $a$, равный катету, и противолежащий ему острый угол $\alpha$. Необходимо построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетом $BC=a$ и углом $\angle BAC = \alpha$.

Анализ: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Следовательно, другой острый угол, прилежащий к катету $BC$, будет равен $\angle ABC = 90^\circ - \alpha$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника по катету ($BC=a$) и прилежащему к нему острому углу ($\angle ABC = 90^\circ - \alpha$), что соответствует предыдущему случаю (пункт 3).

Построение:

Сначала выполним построение угла, равного $90^\circ - \alpha$:

1. Построим прямой угол. Для этого проведем прямую, отметим на ней точку $O$, и восстановим к ней перпендикуляр в этой точке. Получим лучи $OK$ и $OL$, так что $\angle KOL = 90^\circ$.
2. От луча $OK$ внутрь прямого угла отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Получим луч $OM$.
3. Угол $\angle MOL$ будет искомым углом, равным $90^\circ - \alpha$.

Теперь построим сам треугольник:

1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный данному катету $a$.
2. В точке $C$ восстановим перпендикуляр к прямой $BC$.
3. От луча $CB$ отложим угол (с вершиной в точке $B$), равный построенному углу $\angle MOL = 90^\circ - \alpha$. Построим луч $BP$.
4. Точка пересечения луча $BP$ с перпендикуляром, построенным в шаге 5, будет третьей вершиной треугольника, точкой $A$.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$ по построению, катет $BC = a$ по построению, и $\angle ABC = 90^\circ - \alpha$ по построению. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle BAC = 180^\circ - \angle ACB - \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник построен.