Номер 4.53, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.53. Постройте окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной из них – в данной точке.

Анализ

Пусть дана окружность, удовлетворяющая условиям задачи. Центр этой окружности, обозначим его $O$, должен обладать двумя ключевыми свойствами:

1. Поскольку окружность касается обеих сторон угла, ее центр $O$ должен быть равноудален от этих сторон. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектрисой. Следовательно, центр $O$ искомой окружности лежит на биссектрисе данного угла.
2. Поскольку окружность касается одной из сторон угла (пусть это будет сторона $a$) в данной точке $K$, то радиус, проведенный в точку касания, должен быть перпендикулярен касательной. Это означает, что радиус $OK$ перпендикулярен стороне $a$. Следовательно, центр $O$ лежит на прямой, перпендикулярной стороне $a$ и проходящей через точку $K$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ является точкой пересечения биссектрисы данного угла и перпендикуляра к стороне $a$, восстановленного в точке касания $K$. Радиус окружности будет равен расстоянию $OK$.

Построение

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$ и сторонами $a$ и $b$, и на стороне $a$ дана точка $K$.

1. С помощью циркуля и линейки строим биссектрису угла $A$. Обозначим ее лучом $l$.
2. В точке $K$ на стороне $a$ строим перпендикуляр к прямой, содержащей сторону $a$. Обозначим этот перпендикуляр прямой $m$.
3. Находим точку пересечения биссектрисы $l$ и перпендикуляра $m$. Обозначим эту точку $O$. Эта точка будет центром искомой окружности.
4. Измеряем циркулем расстояние от точки $O$ до точки $K$. Этот отрезок $OK$ является радиусом $R$ искомой окружности.
5. Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OK$.

Эта окружность является искомой.

Доказательство

Построенная окружность с центром $O$ и радиусом $R=OK$ удовлетворяет всем условиям задачи:

• Она касается стороны $a$ в точке $K$, так как по построению радиус $OK$ перпендикулярен стороне $a$ в точке $K$, лежащей на окружности.
• Она касается стороны $b$. Так как центр $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, он равноудален от сторон $a$ и $b$. Расстояние от $O$ до стороны $a$ равно длине перпендикуляра $OK$, то есть радиусу $R$. Следовательно, расстояние от $O$ до стороны $b$ также равно $R$. Это означает, что окружность касается стороны $b$.

Задача имеет единственное решение, если угол не является развернутым ($180°$), так как биссектриса угла и перпендикуляр к одной из его сторон, восстановленный из точки, не совпадающей с вершиной, являются непараллельными прямыми и пересекаются в одной точке.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке пересечения биссектрисы данного угла и перпендикуляра к стороне, на которой лежит данная точка касания, восстановленного в этой точке. Радиус окружности равен расстоянию от найденного центра до данной точки касания.