Номер 4.50, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.50. На данной прямой укажите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой.

Задача состоит в том, чтобы найти точку (или точки) $P$, которая удовлетворяет двум условиям:

1. Точка $P$ лежит на данной прямой $l$.

2. Расстояние от точки $P$ до другой данной прямой $m$ равно заданному расстоянию $d$.

Решение этой задачи основано на методе геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка должна принадлежать пересечению двух множеств:

- Первое множество — это сама прямая $l$.

- Второе множество — это геометрическое место точек, удаленных от прямой $m$ на расстояние $d$. Это ГМТ представляет собой пару прямых, $m_1$ и $m_2$, которые параллельны прямой $m$ и расположены по разные стороны от нее на расстоянии $d$.

Таким образом, искомые точки являются точками пересечения прямой $l$ с прямыми $m_1$ и $m_2$.

Построение

1. На прямой $m$ выбираем произвольную точку $A$.

2. Через точку $A$ проводим прямую $k$, перпендикулярную прямой $m$ ($k \perp m$).

3. На прямой $k$ от точки $A$ в обе стороны откладываем отрезки $AB_1$ и $AB_2$ длиной $d$. То есть $AB_1 = d$ и $AB_2 = d$.

4. Через точку $B_1$ проводим прямую $m_1$, параллельную прямой $m$ ($m_1 \parallel m$).

5. Через точку $B_2$ проводим прямую $m_2$, параллельную прямой $m$ ($m_2 \parallel m$).

6. Находим точки пересечения прямой $l$ с построенными прямыми $m_1$ и $m_2$. Эти точки и являются решением задачи.

Исследование числа решений

Количество решений зависит от взаимного расположения прямых $l$ и $m$.

1. Прямые $l$ и $m$ пересекаются

Если прямая $l$ пересекает прямую $m$, то она не параллельна ей. Так как прямые $m_1$ и $m_2$ параллельны прямой $m$, то $l$ также не параллельна им. Следовательно, прямая $l$ пересечет каждую из прямых $m_1$ и $m_2$ ровно в одной точке. Таким образом, в этом случае задача имеет два решения.

Ответ: две точки.

2. Прямые $l$ и $m$ параллельны ($l \parallel m$)

Пусть расстояние между параллельными прямыми $l$ и $m$ равно $h$. Здесь возможны два подслучая:

а) Данное расстояние $d$ равно расстоянию $h$ ($d = h$)

В этом случае одна из построенных прямых, равноудаленных от $m$ (например, $m_1$), совпадет с данной прямой $l$. Их пересечением является вся прямая $l$. Вторая прямая, $m_2$, будет параллельна $l$ и не будет иметь с ней общих точек. Следовательно, любая точка прямой $l$ является решением задачи.

Ответ: бесконечно много решений (любая точка на прямой $l$).

б) Данное расстояние $d$ не равно расстоянию $h$ ($d \neq h$)

В этом случае обе построенные прямые $m_1$ и $m_2$ будут параллельны прямой $l$, но не будут с ней совпадать (расстояние от них до $m$ равно $d$, а от $l$ до $m$ равно $h$). Это означает, что прямая $l$ не имеет общих точек ни с $m_1$, ни с $m_2$.

Ответ: решений нет.