Номер 4.52, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.52. На данной прямой укажите точку, равноудаленную от двух данных точек.

Для нахождения на данной прямой точки, равноудаленной от двух данных точек, необходимо выполнить построение, основанное на свойствах геометрических мест точек.

Анализ

Пусть дана прямая $l$ и две точки $A$ и $B$. Мы ищем точку $X$, которая одновременно удовлетворяет двум условиям:

1. Точка $X$ принадлежит прямой $l$ (т.е. $X \in l$).
2. Точка $X$ равноудалена от точек $A$ и $B$ (т.е. расстояние $XA$ равно расстоянию $XB$, или $XA = XB$).

Геометрическое место точек (ГМТ) плоскости, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, представляет собой прямую, называемую серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Обозначим эту прямую как $m$.

Следовательно, искомая точка $X$ должна принадлежать как прямой $l$, так и прямой $m$. Таким образом, точка $X$ является точкой пересечения этих двух прямых: $X = l \cap m$.

Построение

Алгоритм построения искомой точки $X$ с помощью циркуля и линейки:

1. Соедините данные точки $A$ и $B$ прямой линией, чтобы получить отрезок $AB$.
2. Постройте серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$. Для этого:
   • Из точки $A$ проведите дугу окружности радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$ ($R > \frac{1}{2}AB$).
   • Из точки $B$ проведите дугу окружности тем же радиусом $R$.
   • Две построенные дуги пересекутся в двух точках. Назовем их $P_1$ и $P_2$.
   • Проведите прямую $m$ через точки $P_1$ и $P_2$. Эта прямая и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. Найдите точку пересечения построенного серединного перпендикуляра $m$ и данной прямой $l$. Эта точка пересечения и есть искомая точка $X$.

Доказательство

Точка $X$, полученная в результате построения, является искомой, так как:

• По построению, точка $X$ является точкой пересечения прямых $l$ и $m$, следовательно, она лежит на прямой $l$.
• По построению, точка $X$ также лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, следовательно, $XA = XB$.

Таким образом, найденная точка $X$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача может иметь разное количество решений в зависимости от взаимного расположения прямой $l$ и точек $A$ и $B$.

• Одно решение. Если прямая $l$ и серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$ пересекаются. Это наиболее общий случай.
• Нет решений. Если прямая $l$ и серединный перпендикуляр $m$ параллельны и не совпадают. Это произойдет, если отрезок $AB$ перпендикулярен прямой $l$, но сама прямая $l$ не проходит через середину $AB$.
• Бесконечно много решений. Если прямая $l$ и серединный перпендикуляр $m$ совпадают. Это произойдет, если данная прямая $l$ сама является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$ (точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $l$). В этом случае любая точка прямой $l$ является решением.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения данной прямой и серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему две данные точки. В зависимости от их взаимного расположения, задача может иметь одно решение (общий случай), не иметь решений или иметь бесконечно много решений.