Номер 4.49, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.49. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.

Пусть даны три отрезка, задающие длины: двух сторон $a$ и $b$, и высоты $h$. Условие «высота, опущенная на одну из них» допускает два варианта трактовки, которые мы рассмотрим как два отдельных случая.

Случай 1: Высота $h$ опущена на сторону $a$.

В этом случае требуется построить треугольник $ABC$, у которого сторона $BC = a$, сторона $AC = b$, а высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BC$, равна $h$ (обозначим её $h_a$).

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, и $AD$ — его высота ($D$ лежит на прямой $BC$). Тогда $\triangle ADC$ — прямоугольный с гипотенузой $AC=b$ и катетом $AD=h$. Этот треугольник можно построить, если гипотенуза не меньше катета, то есть $b \ge h$. После его построения, вершина $B$ находится на прямой $CD$ на расстоянии $a$ от вершины $C$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней точку $D$.
2. Восстановим в точке $D$ перпендикуляр к прямой $l$.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $DA = h$.
4. С центром в точке $A$ проведем окружность радиусом $b$.
5. Если $b \ge h$, эта окружность пересечет прямую $l$ в точке (или двух симметричных точках) $C$. Выберем одну из них. Если $b < h$, построение невозможно.
6. С центром в точке $C$ проведем окружность радиусом $a$.
7. Эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках, $B_1$ и $B_2$.
8. Соединяя точки, получаем искомые треугольники $\triangle AB_1C$ и $\triangle AB_2C$.

Исследование

Существование и количество решений зависят от соотношения длин данных отрезков:

• Если $b < h$, задача не имеет решений, так как в прямоугольном треугольнике катет не может быть длиннее гипотенузы.
• Если $b = h$, точка $C$ совпадает с $D$. Треугольник $ADC$ вырождается, а $\angle C$ становится прямым. В этом случае существует одно уникальное решение по форме (два построенных треугольника $\triangle AB_1C$ и $\triangle AB_2C$ будут конгруэнтны, являясь зеркальными отражениями друг друга относительно прямой $AC$).
• Если $b > h$, в общем случае существуют два неконгруэнтных треугольника, являющихся решениями задачи.

Ответ: Задача имеет 0, 1 или 2 решения в зависимости от соотношения длин $b$ и $h$. Построение производится, если $b \ge h$.

Случай 2: Высота $h$ опущена на сторону $b$.

В этом случае требуется построить треугольник $ABC$, у которого сторона $AC = b$, сторона $BC = a$, а высота, проведенная из вершины $B$ к прямой $AC$, равна $h$ (обозначим её $h_b$).

Анализ

Этот случай решается аналогично первому, но роли сторон $a$ и $b$ меняются. Пусть $BE$ — высота ($E$ лежит на прямой $AC$). Тогда $\triangle BEC$ — прямоугольный с гипотенузой $BC=a$ и катетом $BE=h$. Этот треугольник можно построить, если $a \ge h$. После его построения, вершина $A$ находится на прямой $CE$ на расстоянии $b$ от вершины $C$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней точку $E$.
2. Восстановим в точке $E$ перпендикуляр к прямой $l$.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $EB = h$.
4. С центром в точке $B$ проведем окружность радиусом $a$.
5. Если $a \ge h$, эта окружность пересечет прямую $l$ в точке (точках) $C$. Выберем одну из них. Если $a < h$, построение невозможно.
6. С центром в точке $C$ проведем окружность радиусом $b$.
7. Эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках, $A_1$ и $A_2$.
8. Соединяя точки, получаем искомые треугольники $\triangle A_1BC$ и $\triangle A_2BC$.

Исследование

Существование и количество решений зависят от соотношения длин данных отрезков:

• Если $a < h$, задача не имеет решений.
• Если $a = h$, точка $C$ совпадает с $E$, $\angle C$ — прямой. Существует одно решение (второй вариант $\triangle A_2BC$ вырождается в отрезок, так как $A_2$ совпадает с $C$).
• Если $a > h$, в общем случае существуют два неконгруэнтных решения ($\triangle A_1BC$ и $\triangle A_2BC$).

Ответ: Задача имеет 0, 1 или 2 решения в зависимости от соотношения длин $a$ и $h$. Построение производится, если $a \ge h$.