Номер 4.48, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.48. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы.

Анализ

Предположим, что искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен. Пусть $\angle C = 90^\circ$, катет $BC$ равен данному отрезку $a$, а сумма катета $AC$ и гипотенузы $AB$ равна данному отрезку $s$, то есть $AC + AB = s$.

На луче $CA$ отложим отрезок $CD$, равный $s$. Так как по условию $s > AC$ (поскольку $s = AC + AB$ и $AB > 0$), точка $A$ будет лежать между точками $C$ и $D$.

Из равенства $CD = s$ и $AC+AB=s$ следует, что $CD = AC+AB$. С другой стороны, $CD = AC+AD$. Сравнивая эти два выражения, получаем $AB = AD$.

Это означает, что треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике вершина (в данном случае $A$) равноудалена от концов основания ($B$ и $D$). Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Таким образом, искомая вершина $A$ является точкой пересечения отрезка $CD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Это позволяет свести задачу к построению вспомогательного прямоугольного треугольника $BCD$, у которого известны катеты: $BC = a$ и $CD = s$.

Построение

1. Построить прямой угол с вершиной в точке $C$. Для этого на произвольной прямой выбрать точку $C$ и восставить к ней перпендикуляр.

2. На одной стороне прямого угла отложить от точки $C$ отрезок $BC$, равный данному катету $a$.

3. На другой стороне прямого угла отложить от точки $C$ отрезок $CD$, равный данной сумме $s$.

4. Соединить точки $B$ и $D$ отрезком. Получится вспомогательный прямоугольный треугольник $BCD$.

5. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $BD$. (Для этого из точек $B$ и $D$ как из центров провести две пары дуг окружностей одинакового радиуса, большего половины длины $BD$, до их пересечения. Прямая, проходящая через точки пересечения дуг, является серединным перпендикуляром).

6. Точка пересечения серединного перпендикуляра и отрезка $CD$ является искомой вершиной $A$.

7. Соединить точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

1. По построению $\angle C = 90^\circ$, следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный.

2. По построению катет $BC$ равен данному отрезку $a$.

3. Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, следовательно, $AB = AD$.

4. Точка $A$ лежит на отрезке $CD$, поэтому $CD = CA + AD$.

5. Заменяя в предыдущем равенстве $AD$ на равный ему отрезок $AB$, получаем $CD = CA + AB$.

6. По построению, длина отрезка $CD$ равна $s$.

7. Следовательно, $AC + AB = s$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно, если серединный перпендикуляр к отрезку $BD$ пересекает именно отрезок $CD$, а не его продолжение.

В треугольнике $ABD$ углы при основании равны: $\angle ABD = \angle ADB$.

Рассмотрим угол $\angle ABC$. Он является частью угла $\angle CBD$, поэтому $\angle ABC = \angle CBD - \angle ABD$. Подставив $\angle ABD = \angle ADB$ (который также является $\angle CDB$), получим: $ \angle ABC = \angle CBD - \angle CDB $.

Для существования невырожденного треугольника $ABC$ необходимо, чтобы его углы были положительными, в частности $\angle ABC > 0$. Это означает, что $\angle CBD > \angle CDB$.

В прямоугольном треугольнике $BCD$ против большего угла лежит большая сторона. Условие $\angle CBD > \angle CDB$ эквивалентно условию $CD > BC$.

Так как по построению $CD = s$ и $BC = a$, для существования единственного решения необходимо выполнение неравенства $s > a$.

Если $s \le a$, построение невырожденного треугольника, удовлетворяющего условиям, невозможно. Если $s=a$, точка $A$ совпадает с $C$, катет $AC=0$, треугольник вырождается в отрезок. Если $s<a$, точка $A$ окажется вне отрезка $CD$.

Ответ: План построения искомого треугольника $ABC$ по катету $a$ и сумме $s$ другого катета и гипотенузы:

1. Построить вспомогательный прямоугольный треугольник $BCD$, где $\angle C = 90^\circ$, катет $BC = a$ и катет $CD = s$.

2. Построить серединный перпендикуляр к гипотенузе $BD$ этого вспомогательного треугольника.

3. Найти точку $A$ как пересечение серединного перпендикуляра с катетом $CD$.

Треугольник $ABC$ является искомым. Задача имеет единственное решение при условии $s > a$.