Номер 4.45, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.45. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к основанию.

Для построения равнобедренного треугольника по заданным основанию $a$ и высоте $h$, проведенной к нему, воспользуемся ключевым свойством равнобедренного треугольника: высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это значит, что высота делит основание пополам и перпендикулярна ему. Таким образом, вершина, противолежащая основанию, будет лежать на серединном перпендикуляре к основанию на расстоянии, равном высоте, от этого основания.

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки следующим образом:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный длине заданного основания $a$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ как из центров проведем дуги окружностей одинакового радиуса (большего, чем половина длины отрезка $AC$) до их пересечения. Соединив точки пересечения дуг, получим прямую, которая перпендикулярна отрезку $AC$ и проходит через его середину. Обозначим точку пересечения этой прямой и отрезка $AC$ буквой $H$.
3. На построенном серединном перпендикуляре от точки $H$ отложим отрезок $HB$, длина которого равна заданной высоте $h$. Точка $B$ — это третья вершина искомого треугольника.
4. Соединим точку $B$ с точками $A$ и $C$ отрезками.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является искомым. По построению, его основание $AC$ равно заданной длине $a$. Отрезок $BH$ перпендикулярен $AC$ (так как лежит на серединном перпендикуляре) и его длина равна $h$, следовательно, $BH$ — высота треугольника, равная заданной. Поскольку высота $BH$ также является медианой (так как точка $H$ — середина $AC$), треугольник $ABC$ по признаку равнобедренного треугольника является равнобедренным с основанием $AC$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник, построенный по описанному алгоритму, является искомым равнобедренным треугольником.