Номер 4.56, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.56. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки (рис. 4.25).

Рис. 4.25

Данная задача на построение решается с помощью циркуля и линейки. Идея решения состоит в том, чтобы найти центр искомой окружности как точку, равноудаленную от двух данных точек на заданное расстояние, равное радиусу.

Анализ

Пусть даны две точки A и B, а также радиус R. Требуется построить окружность радиуса R, проходящую через A и B. Обозначим центр искомой окружности буквой O.

Поскольку точки A и B лежат на искомой окружности, они должны быть удалены от ее центра O на расстояние, равное радиусу R. Таким образом, должны выполняться равенства: $OA = R$ и $OB = R$.

Это означает, что центр O является точкой, принадлежащей одновременно двум геометрическим местам точек:

1. Множеству точек, удаленных от A на расстояние R, — это окружность с центром в точке A и радиусом R.

2. Множеству точек, удаленных от B на расстояние R, — это окружность с центром в точке B и радиусом R.

Следовательно, искомый центр O является точкой пересечения этих двух окружностей.

Построение

Алгоритм построения:

1. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке A и радиусом, равным данному радиусу R.

2. Не изменяя раствора циркуля, строим вторую окружность с центром в точке B и тем же радиусом R.

3. Находим точки пересечения этих двух окружностей. В зависимости от расположения точек A, B и величины радиуса R, таких точек может быть две, одна или ни одной. Обозначим их $O_1$ и $O_2$.

4. Строим окружность с центром в любой из найденных точек (например, $O_1$) и радиусом R. Эта окружность будет проходить через точки A и B и является решением задачи.

Доказательство

Пусть $O_1$ — точка пересечения построенных на шагах 1 и 2 окружностей. По построению, точка $O_1$ лежит на окружности с центром A и радиусом R, значит, расстояние $O_1A = R$. Также точка $O_1$ лежит на окружности с центром B и радиусом R, значит, расстояние $O_1B = R$.

Таким образом, окружность с центром в $O_1$ и радиусом R проходит через обе точки A и B. Следовательно, построенная окружность является искомой.

Исследование

Количество решений задачи зависит от соотношения между расстоянием $d=AB$ и данным радиусом R.

• Нет решений, если расстояние между точками A и B больше, чем удвоенный радиус ($AB > 2R$). В этом случае построенные окружности не будут иметь точек пересечения.

• Одно решение, если расстояние между точками A и B в точности равно удвоенному радиусу ($AB = 2R$). В этом случае окружности будут касаться друг друга в одной точке, которая является серединой отрезка AB. Эта точка и будет центром единственной искомой окружности.

• Два решения, если расстояние между точками A и B меньше удвоенного радиуса ($AB < 2R$). В этом случае окружности пересекутся в двух точках ($O_1$ и $O_2$), симметричных относительно прямой AB. Соответственно, можно построить две разные окружности, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо построить две вспомогательные окружности с радиусом R (данный радиус) и с центрами в данных точках A и B. Точки пересечения этих окружностей (если они существуют) будут центрами искомых окружностей. Задача имеет два решения, если расстояние $AB < 2R$; одно решение, если $AB = 2R$; и не имеет решений, если $AB > 2R$.