Номер 4.57, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.57. Даны прямая $a$, точки $A$, $B$ и отрезок $PQ$. Постройте треугольник $ABC$ так, чтобы вершина $C$ лежала на прямой $a$ и $AC = PQ$.

Для решения задачи необходимо определить положение вершины C. Эта вершина должна одновременно удовлетворять двум условиям: во-первых, лежать на прямой a, и во-вторых, находиться на расстоянии, равном длине отрезка PQ, от точки A.

Геометрическим местом точек, лежащих на прямой a, является сама прямая a. Геометрическим местом точек, удаленных от точки A на расстояние $PQ$, является окружность с центром в точке A и радиусом $R = PQ$. Следовательно, искомая вершина C — это точка пересечения прямой a и окружности с центром A и радиусом $R = PQ$.

Построение выполняется следующим образом:

1. С помощью циркуля измеряем длину отрезка PQ.

2. Чертим окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине PQ.

3. Находим точку (или точки) пересечения этой окружности с прямой a. Каждая такая точка является возможным положением для вершины C.

4. Выбрав одну из найденных точек в качестве вершины C, соединяем её отрезками с точками A и B. Полученный треугольник ABC является искомым.

Задача может иметь разное количество решений в зависимости от взаимного расположения прямой a и точки A, а также длины отрезка PQ.

- Два решения: если расстояние от точки A до прямой a меньше длины PQ. В этом случае окружность пересечет прямую в двух точках ($C_1$ и $C_2$), и можно построить два треугольника: $\triangle ABC_1$ и $\triangle ABC_2$.

- Одно решение: если расстояние от точки A до прямой a равно длине PQ. В этом случае окружность касается прямой в одной точке, которая и будет вершиной C.

- Нет решений: если расстояние от точки A до прямой a больше длины PQ. В этом случае окружность и прямая не имеют общих точек.

Ответ: Искомая вершина C находится в точке пересечения прямой a и окружности с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка PQ. В зависимости от исходных данных задача может иметь два, одно или ни одного решения.