Номер 4.63, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.63. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.

Пусть нам нужно построить треугольник $ABC$, в котором известны сторона $AB=c$, угол $\angle A = \alpha$ и разность двух других сторон $|BC - AC| = d$. Обозначим $BC=a$ и $AC=b$. Таким образом, $|a-b|=d$. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Сторона, противолежащая заданному углу, больше прилежащей стороны ($a > b$)

В этом случае $a - b = d$, или $BC - AC = d$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На луче, противоположном лучу $AC$, отложим отрезок $AD$, равный $d$. Тогда точка $A$ лежит между точками $D$ и $C$. Длина отрезка $DC$ равна $DA + AC = d + b$. Поскольку по условию $a-b=d$, то $a = b+d$. Следовательно, $DC=a=BC$.

Это означает, что треугольник $DBC$ является равнобедренным с основанием $DB$. В равнобедренном треугольнике вершина $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к основанию $BD$.

Также точка $C$ должна лежать на луче $AX$, который образует угол $\alpha$ со стороной $AB$. Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения луча $AX$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Точку $D$ мы можем построить, так как ее положение относительно отрезка $AB$ определено: она лежит на прямой, содержащей сторону $AC$, на расстоянии $d$ от $A$, причем так, что $A$ находится между $D$ и $C$. Угол $\angle DAB = 180^\circ - \angle CAB = 180^\circ - \alpha$.

Отсюда вытекает следующий план построения.

Построение

1. Строим отрезок $AB$ длиной $c$.
2. От луча $AB$ откладываем угол, равный $\alpha$, и проводим луч $AM$. На этом луче будет лежать вершина $C$.
3. Проводим луч $AN$, противоположный лучу $AM$.
4. На луче $AN$ откладываем отрезок $AD$, равный $d$.
5. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком.
6. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
7. Точка пересечения серединного перпендикуляра и луча $AM$ является искомой вершиной $C$.
8. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB=c$ и $\angle CAB = \alpha$ по построению. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, следовательно, она равноудалена от его концов, то есть $BC = DC$. Точки $D, A, C$ лежат на одной прямой, причем $A$ между $D$ и $C$, поэтому $DC = DA + AC$. По построению $DA=d$. Таким образом, $BC = d + AC$, откуда $BC - AC = d$. Все условия задачи выполнены.

Исследование

Построение возможно, если серединный перпендикуляр к $BD$ пересекает луч $AM$ в единственной точке. Это происходит не всегда. Для существования треугольника $ABC$ необходимо выполнение неравенства треугольника: $AC+AB > BC$, то есть $b+c>a$. Подставляя $a=b+d$, получаем $b+c > b+d$, откуда $c>d$. Если $c \le d$, построение невозможно.

Также, если угол $\alpha$ тупой ($\alpha > 90^\circ$), для существования решения необходимо выполнение условия $d > c \cdot |\cos\alpha|$. Если $c>d$ и угол $\alpha$ острый или прямой ($\alpha \le 90^\circ$), решение всегда существует и единственно. Если $\alpha$ тупой, решение существует и единственно при выполнении двух условий: $c>d$ и $d > c \cdot |\cos\alpha|$.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенным шагам. Решение существует и единственно при выполнении условий, указанных в исследовании.

Случай 2: Сторона, прилежащая к заданному углу, больше противолежащей стороны ($b > a$)

В этом случае $b - a = d$, или $AC - BC = d$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На стороне $AC$ отложим отрезок $AD$, равный $d$. Тогда точка $D$ лежит между точками $A$ и $C$. Длина отрезка $DC$ равна $AC - AD = b - d$. Поскольку по условию $b-a=d$, то $a = b-d$. Следовательно, $DC=a=BC$.

Это означает, что треугольник $DBC$ является равнобедренным с основанием $DB$. Вершина $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к основанию $DB$.

Также точка $C$ должна лежать на луче $AM$, который образует угол $\alpha$ со стороной $AB$. Точка $D$ также лежит на этом луче. Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения луча $AM$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Вспомогательный треугольник $ABD$ мы можем построить по двум сторонам $AB=c$, $AD=d$ и углу между ними $\angle DAB = \alpha$.

Отсюда вытекает следующий план построения.

Построение

1. Строим отрезок $AB$ длиной $c$.
2. От луча $AB$ откладываем угол, равный $\alpha$, и проводим луч $AM$.
3. На луче $AM$ откладываем отрезок $AD$, равный $d$.
4. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точка пересечения серединного перпендикуляра и луча $AM$ (прямой, содержащей $AM$) является искомой вершиной $C$.
7. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AB=c$ и $\angle CAB = \alpha$ по построению. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, следовательно, $BC = DC$. Точки $A, D, C$ лежат на одной прямой, причем $D$ между $A$ и $C$, поэтому $AC = AD + DC$. По построению $AD=d$. Таким образом, $AC = d + BC$, откуда $AC - BC = d$. Все условия задачи выполнены.

Исследование

Для существования треугольника $ABC$ необходимо выполнение неравенства треугольника: $AB+BC > AC$, то есть $c+a>b$. Подставляя $b=a+d$, получаем $c+a > a+d$, откуда $c>d$. Если $c \le d$, построение невозможно.

Кроме того, если угол $\alpha$ прямой или тупой ($\alpha \ge 90^\circ$), то в треугольнике $ABC$ сторона $BC$ не может быть меньше стороны $AC$ ($a<b$ невозможно), так как против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, в этом случае решение существует только если $a>b$ (Случай 1).

Для острого угла $\alpha$ ($ \alpha < 90^\circ $) решение существует и единственно, если выполняется условие $d < c \cdot \cos\alpha$. Если $d \ge c \cdot \cos\alpha$, решений нет.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенным шагам. Решение существует и единственно при выполнении условий, указанных в исследовании ($ \alpha < 90^\circ $ и $d < c \cdot \cos\alpha$).