Номер 4.65, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.65. Постройте прямоугольный треугольник по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен. Пусть $\angle C = 90^\circ$, $AC = b$ — данный катет, а $CD = h$ — высота, опущенная из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$, образованный катетом $AC$, высотой $CD$ и проекцией катета $AD$ на гипотенузу. В этом треугольнике $\angle CDA = 90^\circ$, гипотенуза $AC$ равна данному катету $b$, а катет $CD$ равен данной высоте $h$. Этот треугольник мы можем построить по гипотенузе и катету.

Для того чтобы построение треугольника $ADC$ было возможно, необходимо, чтобы его гипотенуза была не меньше катета, то есть $b \ge h$. В случае $b = h$, точка $A$ совпадает с $D$, и высота $CD$ совпадает с катетом $AC$. Это означает, что катет $AC$ перпендикулярен гипотенузе, что возможно только если $\angle A = 90^\circ$. Но по условию $\angle C = 90^\circ$, значит, такой треугольник вырожден. Таким образом, для существования невырожденного треугольника необходимо строгое условие $b > h$.

После построения треугольника $ADC$ мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямой $AD$, на которой лежит гипотенуза искомого треугольника. Вершина $B$ должна лежать на прямой $AD$. Кроме того, так как $\angle ACB = 90^\circ$, прямая $BC$ должна быть перпендикулярна прямой $AC$. Следовательно, вершина $B$ — это точка пересечения прямой $AD$ и перпендикуляра к $AC$, проведенного через точку $C$.

Построение

Пусть даны два отрезка: $b$ (длина катета) и $h$ (длина высоты), причем $b > h$.

1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $D$.
2. Построим прямую $m$, проходящую через точку $D$ и перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $m$ отложим отрезок $DC$, равный по длине отрезку $h$.
4. С центром в точке $C$ построим окружность радиусом, равным длине отрезка $b$.
5. Поскольку $b > h$, эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках. Обозначим одну из точек пересечения буквой $A$.
6. Построим прямую $n$, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную прямой $AC$.
7. Точка пересечения прямых $l$ и $n$ будет третьей вершиной искомого треугольника. Обозначим ее $B$.
8. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• По построению (шаг 4 и 5), $AC$ является радиусом окружности с центром $C$, поэтому его длина равна $b$.
• По построению (шаг 2 и 3), отрезок $CD$ перпендикулярен прямой $AB$ (лежащей на прямой $l$) и его длина равна $h$. Следовательно, $CD$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на гипотенузу, и ее длина равна $h$.
• По построению (шаг 6 и 7), прямая $BC$ (совпадающая с прямой $n$) перпендикулярна прямой $AC$. Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным, его катет равен $b$, а высота, опущенная на гипотенузу, равна $h$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение выполнено согласно приведенному выше алгоритму. Задача имеет решение при условии, что длина катета больше длины высоты, опущенной на гипотенузу.