Номер 4.72, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.72*. Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне.

Для построения треугольника по стороне $a$, высоте $h_a$ и медиане $m_a$, проведенным к этой стороне, выполним следующие шаги, которые основываются на анализе, построении, доказательстве и исследовании.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC$ — данная сторона, равная $a$. $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, ее длина равна $m_a$. $AH$ — высота, опущенная на прямую $BC$, ее длина равна $h_a$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$.

Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $AHM$, в котором гипотенуза $AM$ равна $m_a$, а катет $AH$ равен $h_a$. Построение этого треугольника является ключевым шагом, так как оно позволяет определить положение вершины $A$ относительно прямой, содержащей сторону $BC$, и положение середины $M$ этой стороны.

Таким образом, план построения сводится к следующему: сначала построить прямоугольный треугольник $AHM$ по известному катету $h_a$ и гипотенузе $m_a$, а затем, зная положение середины $M$ стороны $BC$ и ее длину $a$, построить саму сторону $BC$ и, следовательно, весь треугольник $ABC$.

Построение

1. Построим прямоугольный треугольник $AHM$ по катету $AH = h_a$ и гипотенузе $AM = m_a$:
   1. Проведем произвольную прямую $l$.
   2. Выберем на ней произвольную точку $H$ и проведем через нее прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.
   3. На прямой $p$ отложим отрезок $AH$, равный данной высоте $h_a$.
   4. С центром в точке $A$ проведем окружность радиусом, равным данной медиане $m_a$.
   5. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет точкой $M$. Если $m_a > h_a$, будет две точки пересечения, симметричные относительно $H$; мы можем выбрать любую из них. Если $m_a = h_a$, точка пересечения будет одна и совпадет с $H$. Если $m_a < h_a$, пересечения не будет, и построение невозможно.
2. Теперь на прямой $l$ построим сторону $BC$ длиной $a$ так, чтобы $M$ была ее серединой:
   1. С центром в точке $M$ проведем окружность радиусом $a/2$.
   2. Точки пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначим $B$ и $C$.
3. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ по построению имеет длину $BM + MC = a/2 + a/2 = a$. Точка $M$ является серединой $BC$, следовательно, отрезок $AM$ — медиана. Длина $AM$ по построению равна $m_a$. Отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $BC$, и его длина равна $h_a$, следовательно, $AH$ — высота треугольника. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение только в том случае, когда возможно выполнить все шаги построения. Шаг 1(д) выполним только тогда, когда гипотенуза $m_a$ в прямоугольном треугольнике $AHM$ не меньше катета $h_a$.

• Если $m_a > h_a$, существует два симметричных положения для точки $M$. Однако оба приводят к построению конгруэнтных треугольников. Следовательно, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).
• Если $m_a = h_a$, точка $M$ совпадает с точкой $H$. В этом случае высота и медиана, проведенные из вершины $A$, совпадают, а треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Решение единственно.
• Если $m_a < h_a$, построение невозможно, так как окружность с центром $A$ и радиусом $m_a$ не пересечет прямую $l$. В этом случае задача не имеет решений.

Длина стороны $a$ не влияет на существование решения, а лишь определяет размеры основания треугольника.

Ответ: Построение подробно описано выше. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда длина медианы не меньше длины высоты, то есть $m_a \ge h_a$. При выполнении этого условия решение всегда существует и единственно с точностью до конгруэнтности.