Номер 5.2, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.2. Зная, что $AB = 8$ см, $K$ – середина отрезка $AB$, найдите на прямой $AB$ все такие точки $X$, чтобы выполнялось равенство $AX + BX + KX = 15$ см. Покажите эти точки на рисунке.

По условию задачи дан отрезок $AB$ длиной 8 см. Точка $K$ является его серединой. Это означает, что она делит отрезок $AB$ на два равных отрезка: $AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Нам необходимо найти все такие точки $X$ на прямой $AB$, для которых выполняется равенство: $AX + BX + KX = 15$ см.

Для нахождения всех возможных положений точки $X$ рассмотрим все варианты ее расположения на прямой $AB$ относительно отрезка $AB$.

Случай 1: Точка X находится на отрезке AB

Если точка $X$ лежит между точками $A$ и $B$, то по свойству длины отрезка $AX + BX = AB = 8$ см. Подставим это значение в исходное равенство: $(AX + BX) + KX = 15$ $8 + KX = 15$ $KX = 15 - 8 = 7$ см.

Однако, если точка $X$ лежит на отрезке $AB$, то максимальное расстояние от нее до середины $K$ не может превышать половину длины отрезка, то есть $KA = KB = 4$ см. Поскольку полученное нами значение $KX = 7$ см больше, чем максимально возможное расстояние 4 см ($7 > 4$), то такое расположение точки $X$ невозможно. Следовательно, на отрезке AB решений нет.

Случай 2: Точка X находится на прямой AB, но вне отрезка AB

Этот случай разделяется на два варианта в зависимости от того, с какой стороны от отрезка $AB$ находится точка $X$.

а) Точка X расположена на прямой правее точки B. В этом случае точки на прямой располагаются в следующем порядке: A, K, B, X. Выразим длины отрезков через одну неизвестную, например, $BX$. Длина отрезка $AX$ будет равна сумме длин отрезков $AB$ и $BX$, а длина $KX$ — сумме длин $KB$ и $BX$. $AX = AB + BX = 8 + BX$ $KX = KB + BX = 4 + BX$ Подставим эти выражения в исходное равенство: $AX + BX + KX = 15$ $(8 + BX) + BX + (4 + BX) = 15$ $12 + 3 \cdot BX = 15$ $3 \cdot BX = 15 - 12$ $3 \cdot BX = 3$ $BX = 1$ см. Таким образом, мы нашли первую точку $X_1$, расположенную на прямой на расстоянии 1 см от точки B в сторону, противоположную A.

б) Точка X расположена на прямой левее точки A. В этом случае точки на прямой располагаются в следующем порядке: X, A, K, B. Выразим длины отрезков через неизвестную $AX$. Длина отрезка $BX$ будет равна сумме длин $BA$ и $AX$, а длина $KX$ — сумме длин $KA$ и $AX$. $BX = BA + AX = 8 + AX$ $KX = KA + AX = 4 + AX$ Подставим эти выражения в исходное равенство: $AX + BX + KX = 15$ $AX + (8 + AX) + (4 + AX) = 15$ $12 + 3 \cdot AX = 15$ $3 \cdot AX = 15 - 12$ $3 \cdot AX = 3$ $AX = 1$ см. Таким образом, мы нашли вторую точку $X_2$, расположенную на прямой на расстоянии 1 см от точки A в сторону, противоположную B.

Изображение точек на рисунке

Итак, мы нашли две точки, удовлетворяющие условию. Их расположение на прямой можно схематически представить следующим образом:

 1 см 4 см 4 см 1 см <-------><----------><----------><------>-----X₂-------A-----------K-----------B-------X₁----->

На схеме показаны точки $X_1$ и $X_2$ на прямой $AB$, где $K$ - середина отрезка $AB$. Точка $X_1$ находится на расстоянии 1 см от B (вне отрезка), а точка $X_2$ находится на расстоянии 1 см от A (вне отрезка).

Ответ:

Существуют две точки $X$, удовлетворяющие заданному условию. Обе точки лежат на прямой $AB$ вне отрезка $AB$:

1. Точка, расположенная на расстоянии 1 см от точки $A$ на продолжении отрезка $BA$ за точку $A$.
2. Точка, расположенная на расстоянии 1 см от точки $B$ на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$.