Номер 5.9, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.9* Два населенных пункта А и В находятся по одну сторону от прямой дороги. Где на дороге расположить автобусную остановку С, чтобы сумма расстояний $AC + BC$ была наименьшей?

Эта задача является классической задачей на нахождение минимума и решается с помощью геометрического метода, основанного на осевой симметрии.

Пусть прямая $d$ представляет собой дорогу, а точки $A$ и $B$ — это населенные пункты, расположенные по одну сторону от этой прямой. Нам необходимо найти на прямой $d$ такую точку $C$, чтобы сумма расстояний $AC + BC$ была наименьшей.

Решение и построение:

1. Выберем одну из точек, например, $B$, и построим ее образ $B'$, симметричный относительно прямой $d$ (дороги). Это означает, что прямая $d$ будет перпендикулярна отрезку $BB'$ и будет проходить через его середину.
2. Соединим точку $A$ с полученной симметричной точкой $B'$ отрезком прямой линии.
3. Точка пересечения отрезка $AB'$ с прямой $d$ и будет искомым оптимальным положением для автобусной остановки $C$.

Обоснование:

По определению осевой симметрии, расстояние от любой точки на оси симметрии (в нашем случае, от любой точки на дороге $d$) до точки $B$ равно расстоянию до ее симметричного образа $B'$. Таким образом, для любой точки $C$ на дороге $d$ выполняется равенство: $BC = B'C$.

Следовательно, сумму расстояний, которую мы хотим минимизировать, $AC + BC$, можно представить в виде $AC + B'C$.

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти на прямой $d$ такую точку $C$, которая минимизирует сумму длин отрезков $AC$ и $B'C$. Кратчайшее расстояние между двумя точками $A$ и $B'$ — это длина отрезка прямой, соединяющего их. Сумма $AC + B'C$ будет наименьшей, когда точки $A$, $C$ и $B'$ лежат на одной прямой. В этом случае сумма расстояний будет равна длине отрезка $AB'$:

$AC + B'C = AB'$

Если мы выберем любую другую точку $C'$ на дороге $d$, то точки $A$, $C'$ и $B'$ образуют треугольник (или лежат на одной прямой, но в другом порядке). По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда больше или равна длине третьей стороны:

$AC' + B'C' \ge AB'$

Поскольку $B'C' = BC'$, то $AC' + BC' \ge AB'$. А так как $AB' = AC + BC$, мы получаем:

$AC' + BC' \ge AC + BC$

Это доказывает, что любая другая точка $C'$ на дороге приведет к большей или равной сумме расстояний. Равенство достигается только тогда, когда $C'$ совпадает с $C$.

Ответ: Автобусную остановку $C$ следует расположить в точке пересечения дороги с отрезком, который соединяет один из населенных пунктов (например, $A$) с точкой, симметричной другому населенному пункту ($B$) относительно прямой дороги.