Номер 5.11, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.11. В равнобедренном треугольнике один из углов равен $120^\circ$, а основание равно 10 см. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, боковыми сторонами $AB$ и $BC$. По условию, длина основания $AC = 10$ см, а один из углов равен $120°$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол в $120°$ не может быть углом при основании, так как в этом случае сумма двух углов была бы $120° + 120° = 240°$, что противоречит теореме о сумме углов треугольника ($180°$). Следовательно, $120°$ — это угол при вершине $B$, противолежащей основанию. Таким образом, $\angle B = 120°$.

Углы при основании $\angle A$ и $\angle C$ равны и находятся как:$\angle A = \angle C = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$.

Требуется найти высоту, проведенную к боковой стороне. Обозначим боковые стороны как $a$ и $c$ ($a=BC$, $c=AB$), а основание как $b$ ($b=AC=10$ см). Высоты, проведенные к боковым сторонам в равнобедренном треугольнике, равны. Найдем, например, высоту $h_a$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$.

Для нахождения высоты воспользуемся формулой площади треугольника. Площадь треугольника можно выразить через сторону и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$. Также площадь можно выразить через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\angle C)$.

Приравняв оба выражения для площади, получим:$\frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\angle C)$

Сократив $\frac{1}{2}a$ в обеих частях уравнения, получим формулу для высоты:$h_a = b \cdot \sin(\angle C)$

Подставим известные значения: $b = AC = 10$ см и $\angle C = 30°$.$h_a = 10 \cdot \sin(30°)$

Так как $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, то:$h_a = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.